步骤最少的双纽线几何作图，求证明

wayne

用java geometry expert 做了一个动画。

hujunhua

看得出来，这个作图方法的弱点是不太适合原点附近和两端附近的点。因为，
对于原点附近的点，作图时需要同时画很大和很小的圆，
对于两端附近的点，作图时需要同时画两个的圆。

hujunhua

晒一下我的证明，感觉要被wayne的证明给比下去了。
wayne用的是圆的切割线定理，我则用的是圆的相交弦定理。貌似切割线定理的图来得紧凑些。

首先需要找到把$BC$、$CA$看作入射光线和反射光线的镜像线。为此我们将弓形所在的圆补全，延伸$TM$至$T$的对径点$D$。
由于对称性，$D$是弧$ADB$的中点，故连线$CD$是圆周角$ACB$的角平分线，从而是反射系统的法线，因$TC⊥CD$, 所以$TC$就是我们要找的镜像线。
现在，作出反射光线$CA$的镜像$CA'$. 由对称性知$A$、$B$、$A’$都在以一个$T$为中心的圆$T$上。
记法线$CD$被圆$T$所截的弦为$A_tB_t$，它到圆心$T$的距离即$TC$。
由于$TC=TM$，所以弦$AB=A_tB_t$。注意$BCA'$亦是圆T的弦，由相交弦定理得
$A'C*BC=A_tC^2$, 由相等的线段代换得$AC*BC=AM^2$.

wayne

终于搞定 GeoGebra 动画导出的问题。

换了一种方式，前面的动画在原点附近和两端附近 效果不好，是因为 每帧 是根据MT匀速跑的效果。
现在换成CM云角速度跑，效果就好多了




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2013-7-8 18:49 上传

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hujunhua

两种简单的证明不为多，要是走出第三条路来，那才生光添彩。

wayne

hujunhua 发表于 2013-7-8 21:51
两种简单的证明不为多，要是走出第三条路来，那才生光添彩。

嘿嘿。第三条路 新鲜出炉，,跟第一个简洁方法一样也是割线定理，但用的是不同的割线！

做圆心为T半径为MT的圆，设交圆弧ACB与点D，
做直线AT，交 圆T于两点E,F， E在AT线段内部，F在外侧。
则△ACF ∽ △AED , 于是AC/AE=AF/AD
所以 AC*BC =AC*AD = AE*AF =AM^2

得证！

hujunhua

受到wayne的两个证明（20#和26#）的启发，得到一个图线不超出弓形范围的证明。这个应该记在wayne的头上，是20#证明的简化。
作图的叙述我就省了。
由于$BT$是角$CBD$的平分线，所以$BD=BE$，由$BE*BC=BM^2$代换得$AC*BC=AM^2$.

wayne

还是老大英明神武，敏捷犀利啊！
总共就三个显眼的割线，20#是最外面的一个，26#是中间的一个，老大是最靠内的一个，所以图形也最紧凑。
我拙计了，竟然没看穿！
莫非这就是传说中的“我被浮云遮望眼，老大却在此山中”？

hujunhua

要是谁在3#就直接给出27#之答案，可以称之为秒杀吧。那将显得这个题目多没意思哦。

wayne

wayne 发表于 2013-7-8 18:13
终于搞定 GeoGebra 动画导出的问题。

换了一种方式，前面的动画在原点附近和两端附近 效果不好，是因为  ...

前面的动画做的太差劲了，geogebra 不论画轨迹，还有动画，都可以很专业的：