步骤最少的双纽线几何作图，求证明

hujunhua

如图，$T$是弓形$AB$的弧顶，$M$是弓形的底中，$C$是弧上的一点，并且$TC=TM$.
试证明：$AC*BC=AM^2$

本想了结一个旧帖《光子之约》的，其中要用到一个双纽线的例子，谁知时间搁久了竟然忘了怎么用于双纽线。
却碰巧发现了双纽线上点的一个有趣作图方法。反正从几何画板上动起来没錯，但是还没有找到几何证明。

解析方法是星空的强项，还是留给数学星空吧。

hujunhua

如果上述命题成立，就能导出伯努利双纽线
$(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$
上的点的一种简明的作图方法：
1、在Y轴上任取点C，作过单位点$F_2(1, 0)$的圆C，交Y轴于A,B两点
2、分别以A, B为圆心作过原点O的圆弧，交圆C于$P_1,P_2,P_3,P_4$四点就是双纽线上的点。

动点C跑遍Y轴时，$P_i(i=1,2,3,4)$就画双纽线在第$ i $ 象限的部分。

guxd

楼主问题好深奥啊

copyleft

第一眼瞅着，觉得双纽线的方程很像 三角形中线与三边的关系式子

数学星空

现在我试一下解析法：
设$C(0,z)$ ,根据画图规则，我们可以得到
以圆心为C的方程： $x^2+(y-z)^2=1+z^2$,令$x=0$得到
$A(0,z+sqrt(z^2+1)), B(0,z-sqrt(z^2+1))$ ,进一步得到
以圆心为A的方程：$x^2+(y-z-sqrt(z^2+1))^2=(z+sqrt(z^2+1))^2$
以圆心为B的方程：$x^2+(y-z+sqrt(z^2+1))^2=(z-sqrt(z^2+1))^2$
与圆心为C的方程联立求得：
P1,P2的坐标（x,y）满足： $y=1/(2*sqrt(z^2+1))$ , $x^2=1-y^2-2*y*z$
P3,P4的坐标（x,y）满足： $y=-1/(2*sqrt(z^2+1))$  , $x^2=1-y^2-2*y*z$
显然P1,P2,P3,P4同时满足：$y^2=1/(4*(z^2+1))$ , $x^2=1-y^2-2*y*z$
将$z=(x^2+y^2-1)/(2*y)$代入$y^2=1/(4*(z^2+1))$整理即得：
$(x^2+y^2)^2=2*(x^2-y^2)$

wayne

有思路了：

根据中线定理：
AC^2+BC^2=2(AM^2+CM^2)
两边同时减去 AB^2,得到：
2*AC*BC*cosACB = 2(CM^2-AM^2)

看目标，就知道，接下来我们要把CM 换成AM

因为TC=TM，所以，根据余弦定理，CM ^2= 2*TM^2(1-cosCTM)

注意到AM =TM*tanATM  =TM*tan(ACB/2)
于是统统代进去，三角化简，原则上 ，可以得证
AC*BC= AM^2

wayne

有待完善，角度CTM与角度ACB 没有转化过来

不过思路大致是这样
先占一个坑，回头再补

hujunhua

星空写再多公式都能一气只哈成，不带编辑的，我就不行，凡是含Tex公式的帖子，我都得来回编辑好几次，深惧之。

wayne

首先设角度ACB =2a，则角度ATM=a
设角度CTM=2b,则角度AMC =b
角度CBM=角度CBA=角度CTA =2b-a
角度BCM=角度AMC -角度ABC =a-b
于是在三角形CMB内部，运用正弦定理得 约束：
1) ${CM}/{MB} =sin(2b-a)/sin(a-b)$
另外，根据直角关系，得到：
CM=2*TM*sin(b)
AM=TM*tan(a)
所以
2)${CM}/{AM} ={2*sin(b)}/tan(a)$
MB=MA, 联合1)，2)， 三角化简，得到a,b的关系
*****)  2cos(2b) =1+cos(2a)

1. TrigFactor[2Sin[b]Sin[a-b]-Tan[a]Sin[2b-a]]

复制代码

也就是说，前面假设的2个变量a,b之间的关系理清楚了。
接下来，我们该关注目标式子了：

根据6楼，我们得到
AC*BC*cos2a = CM^2-AM^2
把CM/AM的比值当作整体来看，设为k，则问题就是 要我们求证 k^2 =cos(2a)+1

OK ,我们在回到2) 和 *****) 的表达式

$k^2=({CM}/{AM})^2= ({2*sin(b)}/tan(a))^2 = {4*sin(b)^2}/{1/{cos(2b)}-1}=2cos(2b) =1+cos(2a)$
终于，得证：
AC*BC= AM^2

我要倒了！
本想纯几何的证明，结果这么多三角运算，几乎跟解析几何无异了！

wayne