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[原创] 步骤最少的双纽线几何作图,求证明

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发表于 2013-7-5 23:16:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,$T$是弓形$AB$的弧顶,$M$是弓形的底中,$C$是弧上的一点,并且$TC=TM$.
试证明:$AC*BC=AM^2$

本想了结一个旧帖《光子之约》的,其中要用到一个双纽线的例子,谁知时间搁久了竟然忘了怎么用于双纽线。
却碰巧发现了双纽线上点的一个有趣作图方法。反正从几何画板上动起来没錯,但是还没有找到几何证明。
精华

解析方法是星空的强项,还是留给数学星空吧。

双纽线上点的几何作图.JPG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-7-5 23:59:07 | 显示全部楼层

与双纽线的关系

如果上述命题成立,就能导出伯努利双纽线
$(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$
上的点的一种简明的作图方法:
1、在Y轴上任取点C,作过单位点$F_2(1, 0)$的圆C,交Y轴于A,B两点
2、分别以A, B为圆心作过原点O的圆弧,交圆C于$P_1,P_2,P_3,P_4$四点就是双纽线上的点。

动点C跑遍Y轴时,$P_i(i=1,2,3,4)$就画双纽线在第$ i $ 象限的部分。
伯努利双纽线的几何作图.JPG
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发表于 2013-7-6 08:16:37 | 显示全部楼层
楼主问题好深奥啊
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发表于 2013-7-6 09:14:08 | 显示全部楼层
第一眼瞅着,觉得双纽线的方程很像 三角形中线与三边的关系式子
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发表于 2013-7-6 09:31:26 | 显示全部楼层
现在我试一下解析法:
设$C(0,z)$ ,根据画图规则,我们可以得到
以圆心为C的方程: $x^2+(y-z)^2=1+z^2$,令$x=0$得到
$A(0,z+sqrt(z^2+1)), B(0,z-sqrt(z^2+1))$ ,进一步得到
以圆心为A的方程:$x^2+(y-z-sqrt(z^2+1))^2=(z+sqrt(z^2+1))^2$
以圆心为B的方程:$x^2+(y-z+sqrt(z^2+1))^2=(z-sqrt(z^2+1))^2$
与圆心为C的方程联立求得:
P1,P2的坐标(x,y)满足: $y=1/(2*sqrt(z^2+1))$ , $x^2=1-y^2-2*y*z$
P3,P4的坐标(x,y)满足: $y=-1/(2*sqrt(z^2+1))$  , $x^2=1-y^2-2*y*z$
显然P1,P2,P3,P4同时满足:$y^2=1/(4*(z^2+1))$ , $x^2=1-y^2-2*y*z$
将$z=(x^2+y^2-1)/(2*y)$代入$y^2=1/(4*(z^2+1))$整理即得:
$(x^2+y^2)^2=2*(x^2-y^2)$

点评

速度真快啊  发表于 2013-7-6 09:39

评分

参与人数 1威望 +12 鲜花 +12 收起 理由
wayne + 12 + 12 很给力!

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发表于 2013-7-6 09:35:28 | 显示全部楼层
有思路了:

根据中线定理:
AC^2+BC^2=2(AM^2+CM^2)
两边同时减去 AB^2,得到:
2*AC*BC*cosACB = 2(CM^2-AM^2)

看目标,就知道,接下来我们要把CM 换成AM

因为TC=TM,所以,根据余弦定理,CM ^2= 2*TM^2(1-cosCTM)

注意到AM =TM*tanATM  =TM*tan(ACB/2)
于是统统代进去,三角化简,原则上 ,可以得证
AC*BC= AM^2




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发表于 2013-7-6 09:40:07 | 显示全部楼层
有待完善,角度CTM与角度ACB 没有转化过来

不过思路大致是这样
先占一个坑,回头再补
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 楼主| 发表于 2013-7-6 10:32:10 | 显示全部楼层
星空写再多公式都能一气只哈成,不带编辑的,我就不行,凡是含Tex公式的帖子,我都得来回编辑好几次,深惧之。
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发表于 2013-7-6 11:19:14 | 显示全部楼层
首先设角度ACB =2a,则角度ATM=a
设角度CTM=2b,则角度AMC =b
角度CBM=角度CBA=角度CTA =2b-a
角度BCM=角度AMC -角度ABC =a-b
于是在三角形CMB内部,运用正弦定理得 约束:
1) ${CM}/{MB} =sin(2b-a)/sin(a-b)$
另外,根据直角关系,得到:
CM=2*TM*sin(b)
AM=TM*tan(a)
所以
2)${CM}/{AM} ={2*sin(b)}/tan(a)$
MB=MA, 联合1)2), 三角化简,得到a,b的关系
*****)  2cos(2b) =1+cos(2a)
  1. TrigFactor[2Sin[b]Sin[a-b]-Tan[a]Sin[2b-a]]
复制代码
也就是说,前面假设的2个变量a,b之间的关系理清楚了。
接下来,我们该关注目标式子了:

根据6楼,我们得到
AC*BC*cos2a = CM^2-AM^2
把CM/AM的比值当作整体来看,设为k,则问题就是 要我们求证 k^2 =cos(2a)+1

OK ,我们在回到2) *****) 的表达式

$k^2=({CM}/{AM})^2= ({2*sin(b)}/tan(a))^2 = {4*sin(b)^2}/{1/{cos(2b)}-1}=2cos(2b) =1+cos(2a)$
终于,得证:
AC*BC= AM^2

我要倒了!
本想纯几何的证明,结果这么多三角运算,几乎跟解析几何无异了!


点评

设角度CTM=2b,则角度AMC =b. 挖掘!  发表于 2013-7-6 11:54

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参与人数 1威望 +6 金币 +6 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
hujunhua + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 挖得深啊,掘地三尺啊

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发表于 2013-7-6 12:03:46 | 显示全部楼层

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