无限大的矩阵的幂运算
矩阵$A=[(1,1,0,0,0,0,...),(1,2,1,0,0,0,...),(0,1,2,1,0,0,...),(0,0,1,2,1,0,...),(0,0,0,1,2,1,...),(0,0,0,0,1,2,...),(.,.,.,.,.,.,...),(.,.,.,.,.,.,...),(.,.,.,.,.,.,...)]$
是一个无限大的矩阵。
给定$n$，
问：矩阵$A^n$的第$1$行第$1$列是多少？
#####
根据$3#$wayne大牛的反馈，上述问题并没有严格地表述清楚，于是修改如下：
矩阵
$A_n=[(1,1,0,0,...,0,0,0,0),(1,2,1,0,...,0,0,0,0),(0,1,2,1,...,0,0,0,0),(0,0,1,2,...,0,0,0,0),(.,.,.,.,...,.,.,.,.),(.,.,.,.,...,.,.,.,.),(.,.,.,.,...,.,.,.,.),(0,0,0,0,...,2,1,0,0),(0,0,0,0,...,1,2,1,0),(0,0,0,0,...,0,1,2,1),(0,0,0,0,...,0,0,1,1)]$
是一个$n\times n$的矩阵。
给定$n$，
问：
$1.$矩阵$(A_n)^n$的第$1$行第$1$列是多少？
$2.$矩阵$A_n$的最大的实特征值是多少？
#####
附加说明：
$A_1$、$A_2$和$A_3$是这样的矩阵：
$A_1=$
$A_2=[(1,1),(1,1)]$
$A_3=[(1,1,0),(1,2,1),(0,1,1)]$ 看山不是山。
为啥 A 的第一行第一列不是2呢
额，这个无限很难理解呢。
具体就是你打了省略号的部分，无法用数学语言表达，而按我理解的方式倒是可以的 要不,试一试 将矩阵 分成4块,分别是1*1,1*(n-1) ,(n-1)*1,(n-1)*(n-1)型的矩阵。 然后运用分块矩阵乘法？ $A_1^1=$
$A_2^2=[(2,2),(2,2)]$
$A_3^3=[(5,9,4),(9,18,9),(4,9,5)]$
$A_4^4=[(14,28,20,6),(28,62,54,20),(20,54,62,28),(6,20,28,14)]$
$A_5^5=[(42,90,75,35,8),(90,207,200,118,35),(75,200,250,200,75),(35,118,200,207,90),(8,35,75,90,42)]$
对于对称矩阵 A，可以正交对角化 A=PDP^-1，
其中 P 为正交矩阵（满足 P^-1=P^T），D 为对角矩阵，
A^n=(PDP^-1)^n=P(D^n)P^-1
而 D^n 很容易计算得出，即各元素自身乘幂。
上述方法也许仅理论上有可操作性，因正交化操作及中间结果已非整型，好比求 Fibonacci 数列那样。 跟楼上的老大算的结果一样,总结出来,貌似是大名鼎鼎的 Catalan Numberans=Table[{n,a=SparseArray[{{i_,i_}->2,{i_,j_}/;Abs==1->1},{n,n}]//Normal;a[]=1;
a[]=1;a[]=0;a[]=0;MatrixPower[]},{n,20}] 第一个问题：
然后在OEIS上查到是Catalan数
Catalan numbers: C(n) = binomial(2n,n)/(n+1) = (2n)!/(n!(n+1)!). Also called Segner numbers.
第二个问题：
通过数值计算
目测An的最大实特征根小于4，但随着n的增加逐渐趋近于4。 2#的矩阵更好处理，可以很好的分解（离散正弦变换即可），1#的应该可以用2#的近似 2#的矩阵的特征值非常简单，直接可以用三角函数表示，而其特征多项式直接可以用切皮雪夫多项式表示。
如果假设2#矩阵的特征多项式是$H_n(x)$,那么1#矩阵的特征多项式应该是$H_n(x)+2H_{n-1}(x)+H_{n-2}(x)$,不过这个多项式的根分析起来可能还是有些麻烦 手算特征值的结果是：
$n=1$：$1$
$n=2$：$2$
$n=3$：$3$
$n=4$：$2+sqrt(2)$
$n=5$：$(5+sqrt(5))/2$
$n=6$：$2+sqrt(3)$
与$7#$的数据一致。