无限大的矩阵的幂运算

KeyTo9_Fans

矩阵

$A=[(1,1,0,0,0,0,...),(1,2,1,0,0,0,...),(0,1,2,1,0,0,...),(0,0,1,2,1,0,...),(0,0,0,1,2,1,...),(0,0,0,0,1,2,...),(.,.,.,.,.,.,...),(.,.,.,.,.,.,...),(.,.,.,.,.,.,...)]$

是一个无限大的矩阵。

给定$n$，

问：矩阵$A^n$的第$1$行第$1$列是多少？

#####

根据$3#$wayne大牛的反馈，上述问题并没有严格地表述清楚，于是修改如下：

矩阵

$A_n=[(1,1,0,0,...,0,0,0,0),(1,2,1,0,...,0,0,0,0),(0,1,2,1,...,0,0,0,0),(0,0,1,2,...,0,0,0,0),(.,.,.,.,...,.,.,.,.),(.,.,.,.,...,.,.,.,.),(.,.,.,.,...,.,.,.,.),(0,0,0,0,...,2,1,0,0),(0,0,0,0,...,1,2,1,0),(0,0,0,0,...,0,1,2,1),(0,0,0,0,...,0,0,1,1)]$

是一个$n\times n$的矩阵。

给定$n$，

问：

$1.$矩阵$(A_n)^n$的第$1$行第$1$列是多少？

$2.$矩阵$A_n$的最大的实特征值是多少？

#####

附加说明：

$A_1$、$A_2$和$A_3$是这样的矩阵：

$A_1=[1]$

$A_2=[(1,1),(1,1)]$

$A_3=[(1,1,0),(1,2,1),(0,1,1)]$

wayne

看山不是山。
为啥 A 的第一行第一列不是2呢

wayne

额，这个无限很难理解呢。
具体就是你打了省略号的部分，无法用数学语言表达，而按我理解的方式倒是可以的

wayne

要不,试一试 将矩阵 分成4块,  分别是1*1,  1*(n-1) ,(n-1)*1,  (n-1)*(n-1)型的矩阵。 然后运用分块矩阵乘法？

gxqcn

$A_1^1=[1]$

$A_2^2=[(2,2),(2,2)]$

$A_3^3=[(5,9,4),(9,18,9),(4,9,5)]$

$A_4^4=[(14,28,20,6),(28,62,54,20),(20,54,62,28),(6,20,28,14)]$

$A_5^5=[(42,90,75,35,8),(90,207,200,118,35),(75,200,250,200,75),(35,118,200,207,90),(8,35,75,90,42)]$

对于对称矩阵 $A$，可以正交对角化 $A=PDP^-1$，
其中 $P$ 为正交矩阵（满足 $P^-1=P^T$），$D$ 为对角矩阵，
$A^n=(PDP^-1)^n=P(D^n)P^-1$
而 $D^n$ 很容易计算得出，即各元素自身乘幂。

上述方法也许仅理论上有可操作性，因正交化操作及中间结果已非整型，好比求 Fibonacci 数列那样。

wayne

跟楼上的老大算的结果一样,总结出来,貌似是大名鼎鼎的 Catalan Number

1. ans=Table[{n,a=SparseArray[{{i_,i_}->2,{i_,j_}/;Abs[i-j]==1->1},{n,n}]//Normal;a[[1,1]]=1;
   
2. a[[n,n]]=1;a[[1,n]]=0;a[[n,1]]=0;MatrixPower[a,n][[1,1]]},{n,20}]

复制代码

BeerRabbit

第一个问题：
然后在OEIS上查到是Catalan数
Catalan numbers: C(n) = binomial(2n,n)/(n+1) = (2n)!/(n!(n+1)!). Also called Segner numbers.

第二个问题：
通过数值计算

目测An的最大实特征根小于4，但随着n的增加逐渐趋近于4。

mathe

2#的矩阵更好处理，可以很好的分解（离散正弦变换即可），1#的应该可以用2#的近似

mathe

2#的矩阵的特征值非常简单，直接可以用三角函数表示，而其特征多项式直接可以用切皮雪夫多项式表示。
如果假设2#矩阵的特征多项式是$H_n(x)$,那么1#矩阵的特征多项式应该是$H_n(x)+2H_{n-1}(x)+H_{n-2}(x)$,不过这个多项式的根分析起来可能还是有些麻烦

KeyTo9_Fans

手算特征值的结果是：

$n=1$：$1$
$n=2$：$2$
$n=3$：$3$
$n=4$：$2+sqrt(2)$
$n=5$：$(5+sqrt(5))/2$
$n=6$：$2+sqrt(3)$

与$7#$的数据一致。