无限大的矩阵的幂运算

wayne

其实懒也无可厚非，只要你会用工具就行。

主要是我被Mathematica 误导了。
我用Solve函数(可以解非多项式方程) 解特征方程的根的时候发现超级慢，于是就想当然的认为，此特征多项式的根 不大可能有 简洁的表达式。

其实用Reduce函数的话，fans在14# 给的答案就 一股脑的出来了。

1. Reduce[x ChebyshevU[n, x/2 - 1] == 0 && Element[n, Integers], x, Reals]

复制代码

wayne

mathe 发表于 2013-9-3 21:25
2#的矩阵的特征值非常简单，直接可以用三角函数表示，而其特征多项式直接可以用切皮雪夫多项式表示。
如果 ...

2# 的特征多项式 好像不是 切皮雪夫多项式 吧。
注意 左下角 和右上角 是1，@Buffalo   

wayne

2#矩阵的特征多项式 貌似跟 超几何函数  Hypergeometric2F1 有关。
谁有兴趣 给出表达式来，请允许我先卖一个关子，  

@Buffalo   

Buffalo

wayne 发表于 2013-9-5 20:41
2# 的特征多项式 好像不是 切皮雪夫多项式 吧。
注意 左下角 和右上角 是1，@Buffalo

相关。对角线全是2的是切比雪夫多项式，头尾改成1可以按第一行展开，再按最后一行展开，归结为切比雪夫多项式。11#不是你算出来的吗？

Buffalo

显然你是算错了或者没算。对角线全是2的矩阵为$A_n$，$x=2-2cos t$，$p_n(x)=det(A_n-xI_n)=\frac{sin(n+1)t}{sin t}$，首尾改成1的矩阵为$B_n$，$q_n(x)=det(B_n-xI_n)=(1-x)^2p_{n-2}-2(1-x)p_{n-3}+p_{n-4}=2(cost-1)\frac{sin(nt)}{sin t}$

wayne

Buffalo 发表于 2013-9-6 09:43
显然你是算错了或者没算。对角线全是2的矩阵为$A_n$，$x=2-2cos t$，$p_n(x)=det(A_n-xI_n)=\frac{sin(n+1) ...

软件就在我旁边，我怎么可能不去验算，然后直接质疑你呢？
$f(n, x) = (x-4) x^{n-1-2 \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor} (\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor } (-1)^i C_{n-1-i}^{i} x^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor -i})^2$

wayne

Buffalo 发表于 2013-9-6 09:43
显然你是算错了或者没算。对角线全是2的矩阵为$A_n$，$x=2-2cos t$，$p_n(x)=det(A_n-xI_n)=\frac{sin(n+1) ...

刚吃完饭，正纳闷你为什么没继续，定睛一看，2-x,怎么变成了1-x,于是才醒悟：这不是1#的推导过程么。
我说的是2#楼的循环矩阵，1#不是早就撩停了吗(拜托22#,23#写的这么清楚，你咋看的)

即便是1#, 也不是严格意义的切比雪夫多项式。多了个因式 x  就是多了，不能含糊。

你既然推导出1#的特征多项式 。不妨如法炮制，算算2#的矩阵的特征多项式。

答案已经在26#公布，我本来没打算这么快公开的，这完全是被你激出来的。

Buffalo

wayne 发表于 2013-9-6 13:42
刚吃完饭，正纳闷你为什么没继续，定睛一看，2-x,怎么变成了1-x,于是才醒悟：这不是1#的推导过程么。
我 ...

循环矩阵（circulant matrix http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix）已经被研究得一清二楚，不用再费劲了。

wayne

Buffalo 发表于 2013-9-6 14:09
循环矩阵（circulant matrix http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix）已经被研究得一清二楚，不 ...

是mathe在9#说 2#的是切比雪夫多项式，所以我才回帖的。
我想mathe肯定是看漏了左下角和右上角的1。

我在2# 牵连出循环矩阵，只是期望 fans纠正一下，于是我们会有更多的资料可以查阅，引用。
而 fans 却明确的说，不是我所想的2#矩阵。

循环矩阵论坛里曾有人提及，在我这我也并不记得多少性质，但我会在用到的时候查阅。

你这是在跟我较哪门子的劲呢，较劲的时候也不看清楚帖子内容。

wayne

@Buffalo
毋庸置疑，阁下既有深度还有 广度。

但我更希望大神 是在我们 最需要他的时候才出现，而不是等 饭冷茶凉，或者我们绕弯子之后摸到捷径了才出现。