一个有趣的常微分方程
如果你求得了答案，则你会肯定它是有趣的。求解：
y'''=y'(3y''^2-y'''y')
来源：AMM E2971 我只能看出y为常数解,别的看不出来! 不知道啥解答,快点说吧,能有啥奇怪的????????? y'''=dy''/dy'*y''，然后变量可分离
有
mathe 发表于 2013-10-27 20:31y'''=dy''/dy'*y''，然后变量可分离
根据mathe的思路，算得 y''关于 y'的表达式，然后再做代换 y'' =dy'/dy *y' 即可算出 y'关于y的表达式。
令y'为某一参数t,即得 y关于t的表达式。
将 dx =dy/t 代入前面y'关于y的微分方程，可得到y'关于x的微分方程，积分 即得 x 关于t的表达式。
即方程的参数解
x=c* t/{\sqrt(1+t^2)}+c1
y=-c* 1/{\sqrt(1+t^2)}+c2
如果再做三角代换 t=tan\theta，会发现，这是一个圆的方程 本帖最后由 Lwins_G 于 2013-10-27 20:58 编辑
解 所给的微分方程可以写成\frac{y'''(1+y'^2)-3y'y''^2}{(1+y'^2)^{5/2}}=0
左边显然是解曲线的曲率K=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}的导数，故而解是平面上的广义圆。 Lwins_G 发表于 2013-10-27 20:55
解 所给的微分方程可以写成
左边显然是解曲线的曲率的导数，故而解是平面上的广义圆。
额，这个“显然” 是不是有点事后诸葛之嫌啊。
假如你根本不知道 你面临的解将是什么形式，你会往这个形式想吗 Lwins_G 发表于 2013-10-27 20:55
解 所给的微分方程可以写成
左边显然是解曲线的曲率的导数，故而解是平面上的广义圆。
不过呢，我相信 1/{(1+y'^2)^{5/2}} 这个积分因子是可以通过将原方程摊开，添加一个 因子，配成一个全微分 而得到。 本帖最后由 葡萄糖 于 2018-11-24 21:18 编辑
wayne 发表于 2013-10-27 21:30
不过呢，我相信 1/{(1+y'^2)^{5/2}} 这个积分因子是可以通过将原方程摊开，添加一个 因子，配成一个全微分 而得到。 ...
\begin{split}
y'''&=y'\cdot\left\\
y'''&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2-y'''\left(y'\right)^2\\
y'''+y'''\left(y'\right)^2&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2\\
\lefty'''&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2\\
y'''&=\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}\\
\,\\
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}&=0\\
\end{split}
\begin{align*}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\ln\left|y''\right|-\frac{3}{2}\ln\left\right)=0\\
&\Rightarrow\,\ln\left|y''\right|-\frac{3}{2}\ln\left=\ln\left|C_1\right|\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left^{\frac{3}{2}}}=C_1\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left^{\frac{3}{2}}}-C_1=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}-C_1x\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}=C_1x+C_2\\
\end{align*}
参考：《常微分方程》贺建勋 P480 例39
《吉米数学分析习题集学习指(第三册)》沐定夷、谢惠民 P58 习题3448
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-11-25 12:22 编辑
葡萄糖 发表于 2018-11-24 21:09
\begin{split}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0
\end{split}
...
想知道还有没有其他积分因子了？
\begin{align*}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{\left^{\frac{3}{2}\,}}-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{\left^{\frac{5}{2}\,}}=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y''}{\left^{\frac{3}{2}}}\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left^{\frac{3}{2}}}=C_1\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left^{\frac{3}{2}}}-C_1=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}-C_1x\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}=C_1x+C_2\\
\end{align*}
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