一个有趣的常微分方程

Lwins_G

如果你求得了答案，则你会肯定它是有趣的。
求解：
$y'''=y'(3y''^2-y'''y')$

来源：AMM E2971

mathematica

我只能看出y为常数解,别的看不出来!

mathematica

不知道啥解答,快点说吧,能有啥奇怪的?????????

mathe

y'''=dy''/dy'*y''，然后变量可分离

wayne

mathe 发表于 2013-10-27 20:31
y'''=dy''/dy'*y''，然后变量可分离

根据mathe的思路，算得 y''关于 y'的表达式，  然后再做代换 y'' =dy'/dy *y' 即可算出 y'关于y的表达式。

令y'为某一参数t,即得 y关于t的表达式。
将 dx =dy/t 代入前面y'关于y的微分方程，可得到y'关于x的微分方程，积分 即得 x 关于t的表达式。

即  方程的参数解

$x=c* t/{\sqrt(1+t^2)}+c1$
$y=-c* 1/{\sqrt(1+t^2)}+c2$

如果再做三角代换$ t=tan\theta$，会发现，这是一个圆的方程

Lwins_G

解    所给的微分方程可以写成$\frac{y'''(1+y'^2)-3y'y''^2}{(1+y'^2)^{5/2}}=0$
左边显然是解曲线的曲率$K=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}$的导数，故而解是平面上的广义圆。

wayne

Lwins_G 发表于 2013-10-27 20:55
解    所给的微分方程可以写成
左边显然是解曲线的曲率的导数，故而解是平面上的广义圆。

额，这个“显然” 是不是有点事后诸葛之嫌啊。

假如你根本不知道 你面临的解将是什么形式，你会往这个形式想吗

wayne

Lwins_G 发表于 2013-10-27 20:55
解    所给的微分方程可以写成
左边显然是解曲线的曲率的导数，故而解是平面上的广义圆。

不过呢，我相信 $1/{(1+y'^2)^{5/2}} $这个积分因子是可以通过将原方程摊开，添加一个 因子，配成一个全微分 而得到。

葡萄糖

wayne 发表于 2013-10-27 21:30
不过呢，我相信 $1/{(1+y'^2)^{5/2}} $这个积分因子是可以通过将原方程摊开，添加一个 因子，配成一个全微分 而得到。 ...

\begin{split}
y'''&=y'\cdot\left[3\left(y''\right)^2-y'''y'\right]\\
y'''&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2-y'''\left(y'\right)^2\\
y'''+y'''\left(y'\right)^2&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2\\
\left[1+\left(y'\right)^2\right]y'''&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2\\
y'''&=\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}\\
\,\\
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}&=0\\
\end{split}
\begin{align*}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\ln\left|y''\right|-\frac{3}{2}\ln\left[1+\left(y'\right)^2\right]\right)=0\\
&\Rightarrow\,\ln\left|y''\right|-\frac{3}{2}\ln\left[1+\left(y'\right)^2\right]=\ln\left|C_1\right|\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}=C_1\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}-C_1=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}-C_1x\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}=C_1x+C_2\\
\end{align*}
参考：《常微分方程》贺建勋 P480 例39
《吉米数学分析习题集学习指(第三册)》沐定夷、谢惠民 P58 习题3448

葡萄糖

葡萄糖 发表于 2018-11-24 21:09
\begin{split}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0
\end{split}
...

想知道还有没有其他积分因子了？
\begin{align*}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}\,}}-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{5}{2}\,}}=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}=C_1\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}-C_1=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}-C_1x\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}=C_1x+C_2\\
\end{align*}