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[分享] 一个有趣的常微分方程

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发表于 2013-10-27 17:18:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果你求得了答案,则你会肯定它是有趣的。
求解:
$y'''=y'(3y''^2-y'''y')$

来源:AMM E2971
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-10-27 19:17:10 | 显示全部楼层
我只能看出y为常数解,别的看不出来!
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发表于 2013-10-27 19:21:54 | 显示全部楼层
不知道啥解答,快点说吧,能有啥奇怪的?????????
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发表于 2013-10-27 20:31:40 来自手机 | 显示全部楼层
y'''=dy''/dy'*y'',然后变量可分离

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哈哈,被秒杀了  发表于 2013-10-27 20:48

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发表于 2013-10-27 20:54:36 | 显示全部楼层

mathe 发表于 2013-10-27 20:31
y'''=dy''/dy'*y'',然后变量可分离


根据mathe的思路,算得 y''关于 y'的表达式,  然后再做代换 y'' =dy'/dy *y' 即可算出 y'关于y的表达式。

令y'为某一参数t,即得 y关于t的表达式。
将 dx =dy/t 代入前面y'关于y的微分方程,可得到y'关于x的微分方程,积分 即得 x 关于t的表达式。

即  方程的参数解

$x=c* t/{\sqrt(1+t^2)}+c1$
$y=-c* 1/{\sqrt(1+t^2)}+c2$

如果再做三角代换$ t=tan\theta$,会发现,这是一个圆的方程

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切!原方程是y3=y1*(3*y2^2-y3*y1)我还以为是y3=y1*(3*y1^2-y3*y1),之所以看错,是因为latex解析的错误  发表于 2013-10-29 13:11
我该怎么说你呢?马大哈?  发表于 2013-10-29 13:00
如果任意直线都是的话,那么直线的y'''=0,由微分方程得到y'=0,因而y=const,所以只包含常数解答  发表于 2013-10-29 12:22
A*x+B*y=C 这种 直线也是其中一解。  发表于 2013-10-28 21:04
我用mathematica算了半天这个微分方程,结果没求解出来,即使用了数值解,也没算出来  发表于 2013-10-28 17:44
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 楼主| 发表于 2013-10-27 20:55:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 Lwins_G 于 2013-10-27 20:58 编辑

    所给的微分方程可以写成$\frac{y'''(1+y'^2)-3y'y''^2}{(1+y'^2)^{5/2}}=0$
左边显然是解曲线的曲率$K=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}$的导数,故而解是平面上的广义圆。

点评

方程是y3=y1*(3*y2^2-y3*y1)我还以为是y3=y1*(3*y1^2-y3*y1),之所以看错,是因为latex解析的错误  发表于 2013-10-29 13:12
注意,人家说的是广义圆,请先google一下,长长知识。  发表于 2013-10-29 12:59
这个解为什么丢失了呢???????  发表于 2013-10-29 12:48
任何直线的曲率都等于零呀.但是为什么只有水平直线是解,而斜线直线却不是解答呢?  发表于 2013-10-29 12:42
曲率的导数等于零,那么曲率就是常数.曲率半径也是常数,但并非任何直线都满足原来的方程呀!  发表于 2013-10-29 12:25
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发表于 2013-10-27 21:14:27 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-10-27 20:55
解    所给的微分方程可以写成
左边显然是解曲线的曲率的导数,故而解是平面上的广义圆。


额,这个“显然” 是不是有点事后诸葛之嫌啊。

假如你根本不知道 你面临的解将是什么形式,你会往这个形式想吗

点评

曲率随弧长均匀变化的曲线也蛮有意思的,论坛里有讨论, 如果没做过的话,不妨试试,:)  发表于 2013-10-31 11:26
这并不是一种常规的解法。事实上,对于比较简单的问题(如本例),我们断然不应该用这种方法,但是可以欣赏。但是当你走在数学研究的最前沿的时候,这种奇思妙想也许可以带来一些新的方法。  发表于 2013-10-27 21:21
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发表于 2013-10-27 21:30:40 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-10-27 20:55
解    所给的微分方程可以写成
左边显然是解曲线的曲率的导数,故而解是平面上的广义圆。


不过呢,我相信 $1/{(1+y'^2)^{5/2}} $这个积分因子是可以通过将原方程摊开,添加一个 因子,配成一个全微分 而得到。
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发表于 2018-11-24 21:09:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-11-24 21:18 编辑
wayne 发表于 2013-10-27 21:30
不过呢,我相信 $1/{(1+y'^2)^{5/2}} $这个积分因子是可以通过将原方程摊开,添加一个 因子,配成一个全微分 而得到。 ...


\begin{split}
y'''&=y'\cdot\left[3\left(y''\right)^2-y'''y'\right]\\
y'''&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2-y'''\left(y'\right)^2\\
y'''+y'''\left(y'\right)^2&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2\\
\left[1+\left(y'\right)^2\right]y'''&=3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2\\
y'''&=\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}\\
\,\\
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}&=0\\
\end{split}
\begin{align*}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\ln\left|y''\right|-\frac{3}{2}\ln\left[1+\left(y'\right)^2\right]\right)=0\\
&\Rightarrow\,\ln\left|y''\right|-\frac{3}{2}\ln\left[1+\left(y'\right)^2\right]=\ln\left|C_1\right|\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}=C_1\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}-C_1=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}-C_1x\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}=C_1x+C_2\\
\end{align*}
参考:《常微分方程》贺建勋 P480 例39
《吉米数学分析习题集学习指(第三册)》沐定夷、谢惠民 P58 习题3448

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不错,这个两边除以$y''$用的好  发表于 2018-11-27 10:42
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发表于 2018-11-25 12:21:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-11-25 12:22 编辑
葡萄糖 发表于 2018-11-24 21:09
\begin{split}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0
\end{split}
...


想知道还有没有其他积分因子了?
\begin{align*}
y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0
&\Rightarrow\,\frac{y'''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}\,}}-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{5}{2}\,}}=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}=C_1\\
&\Rightarrow\,\frac{y''}{\left[1+\left(y'\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}-C_1=0\\
&\Rightarrow\,{\rm\,d}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}-C_1x\right)=0\\
&\Rightarrow\,\frac{y'}{\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,}=C_1x+C_2\\
\end{align*}
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