一个有趣的常微分方程

wayne

楼上的 从\(y'''-\frac{3y'\!\cdot\!\left(y''\right)^2}{1+\left(y'\right)^2}=0 \) ，推到这一步\(\frac{y'''}{y''}-\frac{3y'y''}{1+\left(y'\right)^2}=0\)，是一个很不错的启发，决定了这个方法的通用性，给赞。

接下来，到了\(\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} =c_1x+c_2\)，是可以继续往前走几步。
设置\(y'= tan\theta\),那么，代入计算得$c_1x+c_2 = sin\theta$,微分之，得到$dx = C cos\thetad\theta$,于是$dy = tan\thetadx = Csin\thetad\theta$, 这下子圆的参数方程就出现了。

完美。