本帖最后由 王守恩 于 2019-1-20 13:34 编辑
fungarwai 发表于 2017-9-8 21:18
有人用群论算出了这类问题的结果
https://artofproblemsolving.com/community/c4h1509410_number_of_int ...
我把自认简单的方法写一下，免得后面的人重复走弯路。
大家还有更好的方法吗？
题目：4 个不同正整数之和是 n，求 n 不同取法的种数 S(n)。
\[\D S(n)=\bigg[\frac{(2n - 10)^3 - 60n + 36n\cdot\cos (n\pi)+ 228}{1152}\bigg]\]
中括号 是 a 取圆整，即四舍五入。
基础资料详见 14# 楼。
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-21 16:39 编辑
fungarwai 发表于 2014-4-7 15:43
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B8%E5%88%86%E6%8B%86
这里有些方法我看不懂，如果大家 ...
中括号 还是可以去掉的。
\(\D S(n)=\frac{(2 n - 10)^3 - 60 n + 300 + (36 n - 180)\cos(n\pi)}{1152} -\frac{27\cos(n\pi/2)+32\cos(2n\pi/3) +16\cos(2(n + 1)\pi/3)}{216}\)
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-3 14:43 编辑
王守恩 发表于 2019-1-21 16:37
中括号 还是可以去掉的。
题目：4 个不同正整数之和是 n，求 n 不同取法的种数 S(n)。A001400
Table, {n, 0, 80}] 2020 年 8 月 18 日
{1, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15, 18, 23, 27, 34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136, 150, 169, 185, 206,
225, 249, 270, 297, 321, 351, 378, 411, 441, 478, 511, 551, 588, 632, 672, 720, 764, 816, 864, 920, 972,
1033, 1089, 1154, 1215, 1285, 1350, 1425, 1495, 1575, 1650, 1735, 1815, 1906, 1991, 2087, 2178, 2280,
2376, 2484, 2586, 2700, 2808, 2928, 3042, 3169, 3289, 3422, 3549, 3689, 3822, 3969, 4109, 4263, .......}
在这个问题的解决上，合成方法数（即线性不定方程限制条件下的正整数解组数）不是用来加，是用来乘的；即不是用加法原理，而是用乘法原理；这里也会用到加法的交换律和结合律，也会用到群论中的置换群，还会用到函数的对称性质。牵涉面很广。至于排列组合学就不用提了，肯定用的到。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=17935&fromuid=10736
在这个连接中有一组相似问题，至今没有人感兴趣，也就不了了之了。
如果，fungarwai先生感兴趣的话，可以试着做一做，没有兴趣就把它抛掷脑后。
1 余数 统计
参考4 0 1 2 3 0 4
0 0 1 2 3 1 4
1 1 2 3 0 2 4
2 2 3 0 1 3 4
3 3 0 1 2
2 余数 统计
参考4 0 1 2 3 0 4
0 0 2 0 2 1 4
1 1 3 1 3 2 4
2 2 0 2 0 3 4
3 3 1 3 1
3 余数 统计
参考4 0 1 2 3 0 4
0 0 3 2 1 1 4
1 1 0 3 2 2 4
2 2 1 0 3 3 4
3 3 2 1 0
这个问题，如果从合成方法论考虑，n值模4的余数类，合成方法是一样多，没有偏向，所以用待定系数法可以求出它的公式，即代入周期值，可以获得确切的表法数，n模4余1的，模4余2的，模4余3的，模4余0的，就四种情况，有四个公式可以解决任意的四个不同正整数的和为n，其表法数是几的问题。
四元合成 统计
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
10 1
11 1
12 2
13 3
14 5
15 6
16 9
这是4个不同的数，合成结果统计数据。
本帖最后由 白新岭 于 2021-11-4 22:42 编辑
多项式 at^3 bt^2 ct d
1周 a b c d
2周 8a 4b 2c d
3周 27a 9b 3c d
4周 64a 16b 4c d
通过消元法，可求出多项式表达式中的常数项（系数）
有统计结果，及三次多项式，可以求出常数项及系数，a，b，c，d；周期t=int（（n-1）/4）+1，
t=int((1000-1)/4)+1=250,即1000时，周期值为250,mod（1000,4）=0，用模4余0的公式，可求出具体表法数。
王守恩 发表于 2017-9-11 08:47
10 1
11 1
12 2
n值 王守恩 白新岭 出入
10 1 1 0
11 1 1 0
12 2 2 0
13 3 3 0
14 5 5 0
15 6 6 0
16 9 9 0
17 11 12 1
18 15 14 -1
19 18 18 0
20 23 24 1
21 27 30 3
22 34 30 -4
23 39 40 1
24 47 50 3
25 54 60 6
26 64 55 -9
27 72 75 3
28 84 90 6
29 94 105 11
30 108 91 -17
31 120 126 6
32 136 147 11
33 150 168 18
34 169 140 -29
35 185 196 11
36 206 224 18
37 225 252 27
38 249 204 -45
39 270 288 18
40 297 324 27
我的结果只是，四个不同的数之和为n（没有强调同偶同奇，按说只多，不会少，问什么有少的情况，是我的错了，还是王守恩的错了）