数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: fungarwai

[提问] 不同正整数之和

[复制链接]
发表于 2019-1-20 13:31:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-20 13:34 编辑


我把自认简单的方法写一下,免得后面的人重复走弯路。
大家还有更好的方法吗?

题目:4 个不同正整数之和是 n,求 n 不同取法的种数 S(n)。

\[\D S(n)=\bigg[\frac{(2n - 10)^3 - 60n + 36n\cdot\cos (n\pi)+ 228}{1152}\bigg]\]

                中括号 [a] 是 a 取圆整,即四舍五入。
           基础资料详见 14# 楼。


点评

王守恩对这类问题,如探囊取物。  发表于 2021-11-4 20:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-21 16:37:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-21 16:39 编辑


                中括号 [a] 还是可以去掉的。


\(\D S(n)=\frac{(2 n - 10)^3 - 60 n + 300 + (36 n - 180)\cos(n\pi)}{1152} -\frac{27\cos(n\pi/2)+32\cos(2n\pi/3) +16\cos(2(n + 1)\pi/3)}{216}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-3 14:39:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-3 14:43 编辑
王守恩 发表于 2019-1-21 16:37
中括号 [a] 还是可以去掉的。

   题目:4 个不同正整数之和是 n,求 n 不同取法的种数 S(n)。A001400       
      Table[Length@IntegerPartitions[n, 4], {n, 0, 80}]   2020 年 8 月 18 日
{1, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15, 18, 23, 27, 34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136, 150, 169, 185, 206,
225, 249, 270, 297, 321, 351, 378, 411, 441, 478, 511, 551, 588, 632, 672, 720, 764, 816, 864, 920, 972,
1033, 1089, 1154, 1215, 1285, 1350, 1425, 1495, 1575, 1650, 1735, 1815, 1906, 1991, 2087, 2178, 2280,
2376, 2484, 2586, 2700, 2808, 2928, 3042, 3169, 3289, 3422, 3549, 3689, 3822, 3969, 4109, 4263, .......}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 20:48:26 | 显示全部楼层
在这个问题的解决上,合成方法数(即线性不定方程限制条件下的正整数解组数)不是用来加,是用来乘的;即不是用加法原理,而是用乘法原理;这里也会用到加法的交换律和结合律,也会用到群论中的置换群,还会用到函数的对称性质。牵涉面很广。至于排列组合学就不用提了,肯定用的到。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 20:55:53 | 显示全部楼层
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 5&fromuid=10736
在这个连接中有一组相似问题,至今没有人感兴趣,也就不了了之了。
如果,fungarwai先生感兴趣的话,可以试着做一做,没有兴趣就把它抛掷脑后。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 21:39:50 | 显示全部楼层
1                                                余数        统计
参考4        0        1        2        3                0        4
0        0        1        2        3                1        4
1        1        2        3        0                2        4
2        2        3        0        1                3        4
3        3        0        1        2                       
                                                       
2                                                余数        统计
参考4        0        1        2        3                0        4
0        0        2        0        2                1        4
1        1        3        1        3                2        4
2        2        0        2        0                3        4
3        3        1        3        1                       


3                                                余数        统计
参考4        0        1        2        3                0        4
0        0        3        2        1                1        4
1        1        0        3        2                2        4
2        2        1        0        3                3        4
3        3        2        1        0                       
这个问题,如果从合成方法论考虑,n值模4的余数类,合成方法是一样多,没有偏向,所以用待定系数法可以求出它的公式,即代入周期值,可以获得确切的表法数,n模4余1的,模4余2的,模4余3的,模4余0的,就四种情况,有四个公式可以解决任意的四个不同正整数的和为n,其表法数是几的问题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 22:34:02 | 显示全部楼层
四元合成        统计
1        0
2        0
3        0
4        0
5        0
6        0
7        0
8        0
9        0
10        1
11        1
12        2
13        3
14        5
15        6
16        9
这是4个不同的数,合成结果统计数据。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 22:34:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 白新岭 于 2021-11-4 22:42 编辑

多项式        at^3        bt^2        ct        d
1周        a        b        c        d
2周        8a        4b        2c        d
3周        27a        9b        3c        d
4周        64a        16b        4c        d
通过消元法,可求出多项式表达式中的常数项(系数)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 22:39:07 | 显示全部楼层
有统计结果,及三次多项式,可以求出常数项及系数,a,b,c,d;周期t=int((n-1)/4)+1,
t=int((1000-1)/4)+1=250,即1000时,周期值为250,mod(1000,4)=0,用模4余0的公式,可求出具体表法数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-4 23:37:13 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2017-9-11 08:47
10        1
11        1
12        2

n值        王守恩        白新岭        出入
10         1        1        0
11         1        1        0
12         2        2        0
13         3        3        0
14         5        5        0
15         6        6        0
16         9        9        0
17         11        12        1
18         15        14        -1
19         18        18        0
20         23        24        1
21         27        30        3
22         34        30        -4
23         39        40        1
24         47        50        3
25         54        60        6
26         64        55        -9
27         72        75        3
28         84        90        6
29         94        105        11
30         108        91        -17
31         120        126        6
32         136        147        11
33         150        168        18
34         169        140        -29
35         185        196        11
36         206        224        18
37         225        252        27
38         249        204        -45
39         270        288        18
40         297        324        27
我的结果只是,四个不同的数之和为n(没有强调同偶同奇,按说只多,不会少,问什么有少的情况,是我的错了,还是王守恩的错了)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2022-5-19 00:57 , Processed in 0.072710 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表