不同正整数之和

王守恩

fungarwai 发表于 2017-9-8 21:18
有人用群论算出了这类问题的结果

https://artofproblemsolving.com/ ... 09410_number_of_int ...

我把自认简单的方法写一下，免得后面的人重复走弯路。
大家还有更好的方法吗？

题目：4 个不同正整数之和是 n，求 n 不同取法的种数 S(n)。

\[\D S(n)=\bigg[\frac{(2n - 10)^3 - 60n + 36n\cdot\cos (n\pi)+ 228}{1152}\bigg]\]

                中括号 [a] 是 a 取圆整，即四舍五入。
           基础资料详见 14# 楼。

王守恩

fungarwai 发表于 2014-4-7 15:43
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E ... 8%E5%88%86%E6%8B%86

这里有些方法我看不懂，如果大家 ...

                中括号 [a] 还是可以去掉的。


\(\D S(n)=\frac{(2 n - 10)^3 - 60 n + 300 + (36 n - 180)\cos(n\pi)}{1152} -\frac{27\cos(n\pi/2)+32\cos(2n\pi/3) +16\cos(2(n + 1)\pi/3)}{216}\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-1-21 16:37
中括号 [a] 还是可以去掉的。

   题目：4 个不同正整数之和是 n，求 n 不同取法的种数 S(n)。A001400       
      Table[Length@IntegerPartitions[n, 4], {n, 0, 80}]   2020 年 8 月 18 日
{1, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15, 18, 23, 27, 34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136, 150, 169, 185, 206,
225, 249, 270, 297, 321, 351, 378, 411, 441, 478, 511, 551, 588, 632, 672, 720, 764, 816, 864, 920, 972,
1033, 1089, 1154, 1215, 1285, 1350, 1425, 1495, 1575, 1650, 1735, 1815, 1906, 1991, 2087, 2178, 2280,
2376, 2484, 2586, 2700, 2808, 2928, 3042, 3169, 3289, 3422, 3549, 3689, 3822, 3969, 4109, 4263, .......}

白新岭

在这个问题的解决上，合成方法数（即线性不定方程限制条件下的正整数解组数）不是用来加，是用来乘的；即不是用加法原理，而是用乘法原理；这里也会用到加法的交换律和结合律，也会用到群论中的置换群，还会用到函数的对称性质。牵涉面很广。至于排列组合学就不用提了，肯定用的到。

白新岭

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 5&fromuid=10736
在这个连接中有一组相似问题，至今没有人感兴趣，也就不了了之了。
如果，fungarwai先生感兴趣的话，可以试着做一做，没有兴趣就把它抛掷脑后。

白新岭

1                                                余数        统计
参考4        0        1        2        3                0        4
0        0        1        2        3                1        4
1        1        2        3        0                2        4
2        2        3        0        1                3        4
3        3        0        1        2                       
                                                       
2                                                余数        统计
参考4        0        1        2        3                0        4
0        0        2        0        2                1        4
1        1        3        1        3                2        4
2        2        0        2        0                3        4
3        3        1        3        1                       


3                                                余数        统计
参考4        0        1        2        3                0        4
0        0        3        2        1                1        4
1        1        0        3        2                2        4
2        2        1        0        3                3        4
3        3        2        1        0                       
这个问题，如果从合成方法论考虑，n值模4的余数类，合成方法是一样多，没有偏向，所以用待定系数法可以求出它的公式，即代入周期值，可以获得确切的表法数，n模4余1的，模4余2的，模4余3的，模4余0的，就四种情况，有四个公式可以解决任意的四个不同正整数的和为n，其表法数是几的问题。

白新岭

四元合成        统计
1        0
2        0
3        0
4        0
5        0
6        0
7        0
8        0
9        0
10        1
11        1
12        2
13        3
14        5
15        6
16        9
这是4个不同的数，合成结果统计数据。

白新岭

多项式        at^3        bt^2        ct        d
1周        a        b        c        d
2周        8a        4b        2c        d
3周        27a        9b        3c        d
4周        64a        16b        4c        d
通过消元法，可求出多项式表达式中的常数项（系数）

白新岭

有统计结果，及三次多项式，可以求出常数项及系数，a，b，c，d；周期t=int（（n-1）/4）+1，
t=int((1000-1)/4)+1=250,即1000时，周期值为250,mod（1000,4）=0，用模4余0的公式，可求出具体表法数。

白新岭

王守恩 发表于 2017-9-11 08:47
10        1
11        1
12        2

n值        王守恩        白新岭        出入
10         1        1        0
11         1        1        0
12         2        2        0
13         3        3        0
14         5        5        0
15         6        6        0
16         9        9        0
17         11        12        1
18         15        14        -1
19         18        18        0
20         23        24        1
21         27        30        3
22         34        30        -4
23         39        40        1
24         47        50        3
25         54        60        6
26         64        55        -9
27         72        75        3
28         84        90        6
29         94        105        11
30         108        91        -17
31         120        126        6
32         136        147        11
33         150        168        18
34         169        140        -29
35         185        196        11
36         206        224        18
37         225        252        27
38         249        204        -45
39         270        288        18
40         297        324        27
我的结果只是，四个不同的数之和为n（没有强调同偶同奇，按说只多，不会少，问什么有少的情况，是我的错了，还是王守恩的错了）