一道积分题
一道积分题圆A的圆心A为双曲线xy=1一分支一点，使圆A与x，y轴都相切，求阴影部分的面积。
答案已给出，请尝试第一种方法解决。
第一种方法怎么解决？ 圆的上半分支表达式减去双曲线的表达式，积分上下限就是 两个交点。
这应该算是课后练习题的难度吧，只不过计算表达式繁琐了一点。
(课后练习题占了论坛几百KB的空间，吐槽一下)。 wayne 发表于 2014-1-20 16:09
圆的上半分支表达式减去双曲线的表达式，积分上下限就是 两个交点。
这应该算是课后练习题的难度吧，只不 ...
按这个算下去怎么得到答案？
按道理应该相等，不知怎么相等？？ 把两个交点坐标求出来后，可以不用定积分了，用对数函数的积分定义就可以做了。 本帖最后由 葡萄糖 于 2014-1-20 18:33 编辑
黑色部分：
红色部分：
\[ 2\left(\frac{1}{2}\sqrt { - 1 + 2\sqrt 2 }- \frac{\pi }{8} + \text{arccsc}\left[\sqrt {5 + 3\sqrt 2- \sqrt {31 + 22\sqrt 2 } } \right] + \log\left[\frac{1}{2}\left(1 + \sqrt 2- \sqrt { - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\right]\right) \]
这个是最终答案,结果算是有点复杂!
100位小数结果:
1.359789776525751592518338362865449109162641578756371145877415412259393274103220144358707455991381216 计算原理很简单, y=x很显然是图形的对称轴,于是乎这个问题就简单了! (*求积分面积*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*求解交点*)
sol={x,y}/.Solve[{(x-1)^2+(y-1)^2==1,x*y==1},{x,y}];
(*获得其中用来积分的交点*)
solxy=sol[];
x0=solxy[];(*积分的起始x坐标*)
x1=1;
x2=1+1/Sqrt;
fun1:=1+Sqrt;(*圆的上半部分曲线方程*)
fun2:=1/x;(*双曲线方程*)
fun3:=x;(*对称轴方程*)
area1=Integrate-fun2,{x,x0,x1}];
area2=Integrate-fun3,{x,x1,x2}];
area=2*(area1+area2)
上面是mathematica的代码.
过程很简单,注释也详细,就这么ok吧,这问题不难
我宁可把问题重做一遍,也不愿意按照你的思路来,这就是人呀,我觉得我的思维还算比较简单的 cn8888 发表于 2014-1-21 09:52
我宁可把问题重做一遍,也不愿意按照你的思路来,这就是人呀,我觉得我的思维还算比较简单的
@葡萄糖
这个是结果的表达形式的不同,我也好奇如何证明这两个结果相同
但是我觉得只有从数值解上来理解吧,如果数值解的前100位相同,
那差不多就一样的
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