一道积分题

葡萄糖

一道积分题
圆A的圆心A为双曲线xy=1一分支一点，使圆A与x，y轴都相切，求阴影部分的面积。




答案已给出，请尝试第一种方法解决。
第一种方法怎么解决？

wayne

圆的上半分支表达式减去双曲线的表达式，积分上下限就是 两个交点。
这应该算是课后练习题的难度吧，只不过计算表达式繁琐了一点。

(课后练习题占了论坛几百KB的空间，吐槽一下)。

葡萄糖

wayne 发表于 2014-1-20 16:09
圆的上半分支表达式减去双曲线的表达式，积分上下限就是 两个交点。
这应该算是课后练习题的难度吧，只不 ...

按这个算下去怎么得到答案？
按道理应该相等，不知怎么相等？？

hujunhua

把两个交点坐标求出来后，可以不用定积分了，用对数函数的积分定义就可以做了。

葡萄糖

黑色部分：

红色部分：

cn8888

\[ 2\left(\frac{1}{2}\sqrt { - 1 + 2\sqrt 2 }  - \frac{\pi }{8} + \text{arccsc}\left[\sqrt {5 + 3\sqrt 2  - \sqrt {31 + 22\sqrt 2 } } \right] + \log\left[\frac{1}{2}\left(1 + \sqrt 2  - \sqrt { - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\right]\right) \]


这个是最终答案,结果算是有点复杂!
100位小数结果:
1.359789776525751592518338362865449109162641578756371145877415412259393274103220144358707455991381216

cn8888

计算原理很简单, y=x很显然是图形的对称轴,于是乎这个问题就简单了!

cn8888

1. (*求积分面积*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*求解交点*)
   
4. sol={x,y}/.Solve[{(x-1)^2+(y-1)^2==1,x*y==1},{x,y}];
   
5. (*获得其中用来积分的交点*)
   
6. solxy=sol[[2]];
   
7. x0=solxy[[1]];(*积分的起始x坐标*)
   
8. x1=1;
   
9. x2=1+1/Sqrt[2];
   
10. fun1[x]:=1+Sqrt[1-(x-1)^2];(*圆的上半部分曲线方程*)
    
11. fun2[x]:=1/x;(*双曲线方程*)
    
12. fun3[x]:=x;(*对称轴方程*)
    
13. area1=Integrate[fun1[x]-fun2[x],{x,x0,x1}];
    
14. area2=Integrate[fun1[x]-fun3[x],{x,x1,x2}];
    
15. area=2*(area1+area2)
    

复制代码

上面是mathematica的代码.

过程很简单,注释也详细,就这么ok吧,这问题不难

cn8888

我宁可把问题重做一遍,也不愿意按照你的思路来,这就是人呀,我觉得我的思维还算比较简单的

cn8888

cn8888 发表于 2014-1-21 09:52
我宁可把问题重做一遍,也不愿意按照你的思路来,这就是人呀,我觉得我的思维还算比较简单的

@葡萄糖
这个是结果的表达形式的不同,我也好奇如何证明这两个结果相同
但是我觉得只有从数值解上来理解吧,如果数值解的前100位相同,
那差不多就一样的