一道三角函数题
已知\( \sin(5\alpha)=\dfrac{61}{64},\cos(5\beta)=\dfrac{61}{64} \)，求 \(\sin \alpha + \cos \beta = ? \) 解答显然不唯一 \( \begin{align*}\sin(3x)&=3\sin(x)-4\sin^3(x)\\ \cos(3x)&=4\cos^3(x)-3\cos(x) \\ \\
\sin(5x)&=\sin(3x+2x)=\sin(3x)\cos(2x)+\cos(3x)\sin(2x)\\&=\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x) \right) \left(1-2\sin^2(x) \right)+2\sin(x)\cos(x)\left( 4\cos^3(x)-3\cos(x) \right)\\&=16\sin^5(x)-20\sin^3(x)+5\sin(x)
\end{align*} \) 然后因子分解$16x^5-20x^3+5x-61/65$可得 其实质就是两个均满足$16x^5-20x^3+5x-61/64=0$的数之和等于多少? 所以,总共有C(5,2)+C(5,1)=15个 结果
很巧的是,可以在无理数域内将上面的五次式分解成最高二次的因子: \[-\frac{1}{64} (4 x-1) \left(-16 x^2+\left(2 \sqrt{5}-2\right) x+2 \sqrt{5}+9\right) \left(16 x^2+\left(2+2 \sqrt{5}\right) x+2 \sqrt{5}-9\right)\]
是的，得出一个正弦值后，余下均相差${2pi}/5$
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