一道三角函数题

葡萄糖 · 发表于 2014-2-1 09:04:24

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已知 $ \sin(5\alpha)=\dfrac{61}{64},\cos(5\beta)=\dfrac{61}{64} $，求 $ \sin \alpha + \cos \beta = ? $

mathe · 发表于 2014-2-1 09:15:26

解答显然不唯一

mathe · 发表于 2014-2-1 20:21:36

$ \begin{align*}
\sin(3x)&=3\sin(x)-4\sin^3(x)\\ \cos(3x)&=4\cos^3(x)-3\cos(x) \\ \\
\sin(5x)&=\sin(3x+2x)=\sin(3x)\cos(2x)+\cos(3x)\sin(2x)\\&=\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x) \right) \left(1-2\sin^2(x) \right)+2\sin(x)\cos(x)\left( 4\cos^3(x)-3\cos(x) \right)\\&=16\sin^5(x)-20\sin^3(x)+5\sin(x)
\end{align*} $

mathe · 发表于 2014-2-1 20:32:48

然后因子分解$16x^5-20x^3+5x-61/65$可得

wayne · 发表于 2014-2-1 21:34:39

其实质就是两个均满足$16x^5-20x^3+5x-61/64=0$的数之和等于多少? 所以,总共有$C(5,2)+C(5,1)=15$个结果

很巧的是,可以在无理数域内将上面的五次式分解成最高二次的因子: \[-\frac{1}{64} (4 x-1) \left(-16 x^2+\left(2 \sqrt{5}-2\right) x+2 \sqrt{5}+9\right) \left(16 x^2+\left(2+2 \sqrt{5}\right) x+2 \sqrt{5}-9\right)\]

mathe · 发表于 2014-2-2 07:39:16

是的，得出一个正弦值后，余下均相差${2pi}/5$

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[讨论] 一道三角函数题

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