感觉像费马定律了，不会a^r + b^r = c^r + d^r r>=5也没有整数解吧:o 只是可以肯定a^r + b^r 不是r次方数了
让我立即想起那个哈代看望拉玛努金的故事。
liangbch 发表于 2014-10-24 13:21
让我立即想起那个哈代看望拉玛努金的故事。
那是三次幂的，呵呵~~
282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？
\(n^4-(n-1)^4=(2n^3-3n^2+2n)^2-(2n^3-3n^2+2n-1)^2\)
本帖最后由 mathematica 于 2018-9-17 14:21 编辑
gxqcn 发表于 2014-2-9 15:36
应该是： \( 635\,318\,657=59^4+158^4=133^4+134^4 \)
下一个为： \( 3\,262\,811\,042=7^4+239^4=15 ...
133 134 635318657 59 158 635318657
157 227 3262811042 7 239 3262811042
256 257 8657437697 193 292 8657437697
266 268 10165098512 118 316 10165098512
399 402 51460811217 177 474 51460811217
314 454 52204976672 14 478 52204976672
298 497 68899596497 271 502 68899596497
359 514 86409838577 103 542 86409838577
512 514 138519003152 386 584 138519003152
503 558 160961094577 222 631 160961094577
532 536 162641576192 236 632 162641576192
471 681 264287694402 21 717 264287694402
665 670 397074160625 295 790 397074160625
768 771 701252453457 579 876 701252453457
798 804 823372979472 354 948 823372979472
628 908 835279626752 28 956 835279626752
596 994 1102393543952 542 1004 1102393543952
718 1028 1382557417232 206 1084 1382557417232
931 938 1525400095457 413 1106 1525400095457
785 1135 2039256901250 35 1195 2039256901250
653 1176 2094447251857 76 1203 2094447251857
1024 1028 2216304050432 772 1168 2216304050432
1006 1116 2575377513232 444 1262 2575377513232
1064 1072 2602265219072 472 1264 2602265219072
1197 1206 4168325708577 531 1422 4168325708577
942 1362 4228603110432 42 1434 4228603110432
997 1342 4231525221377 878 1381 4231525221377
1280 1285 5410898560625 965 1460 5410898560625
894 1491 5580867316257 813 1506 5580867316257
1330 1340 6353186570000 590 1580 6353186570000
1077 1542 6999196924737 309 1626 6999196924737
1099 1589 7834009311842 49 1673 7834009311842
1463 1474 9301700457137 649 1738 9301700457137
1536 1542 11220039255312 1158 1752 11220039255312
1509 1674 13037848660737 666 1893 13037848660737
1596 1608 13173967671552 708 1896 13173967671552
1256 1816 13364474028032 56 1912 13364474028032
1192 1988 17638296703232 1084 2008 17638296703232
1729 1742 18145336162577 767 2054 18145336162577
1792 1799 20786507910497 1351 2044 20786507910497
1413 2043 21407303246562 63 2151 21407303246562
1436 2056 22120918675712 412 2168 22120918675712
1862 1876 24406401527312 826 2212 24406401527312
1784 1997 26033514998417 1324 2189 26033514998417
1995 2010 32163007010625 885 2370 32163007010625
1570 2270 32628110420000 70 2390 32628110420000
1306 2352 33511156029712 152 2406 33511156029712
2048 2056 35460864806912 1544 2336 35460864806912
2026 2141 37860330087137 1042 2461 37860330087137
2012 2232 41206040211712 888 2524 41206040211712
2128 2144 41636243505152 944 2528 41636243505152
1490 2485 43062247810625 1355 2510 43062247810625
1727 2497 47770816465922 77 2629 47770816465922
2261 2278 53062449551297 1003 2686 53062449551297
1795 2570 54006149110625 515 2710 54006149110625
2304 2313 56801448730017 1737 2628 56801448730017
2131 2524 61206381799697 248 2797 61206381799697
2394 2412 66693211337232 1062 2844 66693211337232
1884 2724 67657649766912 84 2868 67657649766912
1994 2684 67704403542032 1756 2762 67704403542032
1797 2854 76773963505537 1034 2949 76773963505537
2527 2546 82795362698897 1121 3002 82795362698897
2560 2570 86574376970000 1930 2920 86574376970000
1788 2982 89293877060112 1626 3012 89293877060112
2041 2951 93189146170562 91 3107 93189146170562
2515 2790 100600684110625 1110 3155 100600684110625
2660 2680 101650985120000 1180 3160 101650985120000
2345 2986 109737827061041 1577 3190 109737827061041
2154 3084 111987150795792 618 3252 111987150795792
2793 2814 123557407732017 1239 3318 123557407732017
2198 3178 125344148989472 98 3346 125344148989472
2816 2827 126753545321777 2123 3212 126753545321777
2926 2948 148827207314192 1298 3476 148827207314192
2338 3351 155974778565937 1623 3494 155974778565937
2767 3147 156700232476402 661 3537 156700232476402
2355 3405 165179809001250 105 3585 165179809001250
2086 3479 165427931189297 1897 3514 165427931189297
1959 3528 169650227400417 228 3609 169650227400417
3059 3082 177788208293537 1357 3634 177788208293537
3072 3084 179520628084992 2316 3504 179520628084992
2513 3598 207470022423377 721 3794 207470022423377
3018 3348 208605578571792 1332 3786 208605578571792
3192 3216 210783482744832 1416 3792 210783482744832
2512 3632 213831584448512 112 3824 213831584448512
3328 3341 247265078064017 2509 3796 247265078064017
3325 3350 248171350390625 1475 3950 248171350390625
2669 3859 272513241038882 119 4063 272513241038882
2384 3976 282212747251712 2168 4016 282212747251712
3458 3484 290325378601232 1534 4108 290325378601232
3584 3598 332584126567952 2702 4088 332584126567952
3591 3618 337634382394737 1593 4266 337634382394737
2826 4086 342516851944992 126 4302 342516851944992
2991 4026 342753542931537 2634 4143 342753542931537
2872 4112 353934698811392 824 4336 353934698811392
3521 3906 386467588079377 1554 4417 386467588079377
3724 3752 390502424436992 1652 4424 390502424436992
3568 3994 416536239974672 2648 4378 416536239974672
2983 4313 425212797804482 133 4541 425212797804482
3840 3855 438282783410625 2895 4380 438282783410625
3857 3886 449348815041617 1711 4582 449348815041617
2682 4473 452050252616817 2439 4518 452050252616817
3990 4020 514608112170000 1770 4740 514608112170000
3140 4540 522049766720000 140 4780 522049766720000
2612 4704 536178496475392 304 4812 536178496475392
3231 4626 566934950903697 927 4878 566934950903697
4096 4112 567373836910592 3088 4672 567373836910592
4123 4154 586730121431297 1829 4898 586730121431297
4052 4282 605765281394192 2084 4922 605765281394192
3966 4397 621194785437217 2694 4883 621194785437217
4288 4303 680914892583617 3364 4849 680914892583617
4352 4369 723077853891137 3281 4964 723077853891137
(*数表示成两个四次方的和*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*第一列一个数,第二列一个数,第三列四次方的和*)
aa=Append[#,Total[#^4]]&/@Subsets,{2}];
(*选择四次方和出现次数大于1的有哪些*)
bb=#[]&/@Select]&/@aa],#[]>1&];
(*选择四次方和选出这些数*)
cc=Sort]]&],#1[]<#2[]&]
(*根据四次方和来分组*)
dd=GatherBy]&]
ee=Flatten[#]&/@dd
Grid@ee
以前觉得很难的问题,现在居然超过了gxqcn
(*数表示成两个5次方的和*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*第一列一个数,第二列一个数,第4列5次方的和*)
aa=Append[#,Total[#^5]]&/@Subsets,{3}];
bb=#[]&/@Select]&/@aa],#[]>1&];
cc=Sort]]&],#1[]<#2[]&]
dd=GatherBy]&]
ee=Flatten[#]&/@dd
Grid@ee
24 28 67 1375298099 3 54 62 1375298099
18 44 66 1419138368 13 51 64 1419138368
21 43 74 2370099168 8 62 68 2370099168
56 67 83 5839897526 53 72 81 5839897526
49 75 107 16681039431 39 92 100 16681039431
53 90 116 27326512069 26 85 118 27326512069
38 47 123 28461637018 1 89 118 28461637018
73 96 119 34090335168 68 106 114 34090335168
48 56 134 44009539168 6 108 124 44009539168
36 88 132 45412427776 26 102 128 45412427776
39 56 136 47166830151 3 97 131 47166830151
17 95 138 57788232400 13 35 142 57788232400
42 86 148 75843173376 16 124 136 75843173376
91 94 150 89516861675 28 32 155 89516861675
65 94 152 89636142881 42 129 140 89636142881
63 67 169 140201053499 9 131 159 140201053499
112 134 166 186876720832 106 144 162 186876720832
68 137 170 191701358025 36 140 169 191701358025
43 109 181 209797492893 13 159 161 209797492893
74 113 182 220333644849 61 129 179 220333644849
39 142 186 280445841607 28 167 172 280445841607
54 132 198 344850623424 39 153 192 344850623424
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本帖最后由 王守恩 于 2018-9-19 18:54 编辑
282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？
还有更好的吗？
\(\left(4n^4+4n^3+3n^2+2n+1\right)^4+\left(2n^3+n^2+n\right)^4+\left(n^2\right)^4+\left(n^2\right)^4\)
\(=\left(4n^4+4n^3+3n^2+2n\right)^4+\left(4n^3+3n^2+2n+1\right)^4+\left(2n^3+n^2\right)^4+\left(n^2+n\right)^4+\left(2n^2\right)^4\)
mathematica 发表于 2018-9-19 10:22
\
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观察可得：
第4列是最小的；
第1列不一定是第2小的；
第3列不一定是最大的。
mathematica ！
第4列设置成 “0也可以”岂不更好？
我一直捉摸不透：
第4列能不能跑遍所有正整数？
kastin 发表于 2014-7-30 11:21
还没见过这种问题的文章。不过有类似的结论：
费马在给梅森的信中还说，形如4n+1的素数和它的平方都只 ...
\(因式分解公式求证\)。
\((x+a_1)^n-(x-a_2)^n=常数项*f_{(x_1)}*f_{(x_2)}*f_{(x_3)}*f_{(x_4)}*\cdots*f_{(x_k)}\)
\(在这里：n是正整数，x是变数，a_1,a_2是常数，k表示多项式f_{(x_i)}的个数。则有：\)
\(常数项=(a_1+a_2)*n中相同的素因子(含次数)\)。
\(k=n的因子个数-1。例如：\)
\((x+5)^{18}-(x-4)^{18}：常数项=(5+4)*9=81，k=2*3-1=5\)
\((x+6)^{21}-(x-1)^{21}：常数项=(6+1)*7=49，k=3*2-1=3\)
\((x+8)^{45}-(x+5)^{45}：常数项=(8-5)*9=27，k=3*2-1=5\)
\((x+3)^{80}-(x-2)^{80}：常数项=(3+2)*5=25，k=5*2-1=9\)
\((x+9)^{88}-(x+1)^{88}：常数项=(9-1)*8=64，k=4*2-1=7\)
\((x+8)^{90}-(x-7)^{90}：常数项=(8+7)*45=675，k=2*3*2-1=11\)
282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？
求证：\(\sqrt{(3n)^4+(n+2)^5-n^4-(n-2)^5}\ \)是整数。
\(06^4+04^5-02^4-00^5=0048^2\)
\(09^4+05^5-03^4-01^5=0098^2\)
\(12^4+06^5-04^4-02^5=0168^2\)
\(15^4+07^5-05^4-03^5=0258^2\)
\(18^4+08^5-06^4-04^5=0368^2\)
\(21^4+09^5-07^4-05^5=0498^2\)
\(24^4+10^5-08^4-06^5=0648^2\)
\(27^4+11^5-09^4-07^5=0818^2\)
\(30^4+12^5-10^4-08^5=1008^2\)
\(33^4+13^5-11^4-09^5=1218^2\)
\(36^4+14^5-12^4-10^5=1448^2\)
\(39^4+15^5-13^4-11^5=1698^2\)
\(42^4+16^5-14^4-12^5=1968^2\)
\(45^4+17^5-15^4-13^5=2258^2\)
\(48^4+18^5-16^4-14^5=2568^2\)
\(51^4+19^5-17^4-15^5=2898^2\)
\(54^4+20^5-18^4-16^5=3248^2\)
\(57^4+21^5-19^4-17^5=3618^2\)
\(60^4+22^5-20^4-18^5=4008^2\)