关于9#提到的内点\(PA=x,PB=y,PC=z\),还有一个很简洁的表达式(值得大家共赏）
\[(-a^2+y^2+z^2)^2x^2+(-b^2+x^2+z^2)^2y^2+(-c^2+x^2+y^2)^2z^2-(-a^2+y^2+z^2)(-b^2+x^2+z^2)(-c^2+x^2+y^2)-4x^2y^2z^2＝0\]
2#和4#被我编辑过，去掉了2#中的图片，将4#的图片变成了Latex公式。
郭老板说过，尽量不要用图片搞公式，本坛公式表达已经很强大了。
建议星空研究一下将这个主题下的公式化成对称而且简明的行列式。
受 hujunhua 启发，可将 \( PABC \) （或 \( QABC \) ）看做是空间四面体，只是其体积 \( V=0 \) ：
\[ \begin{vmatrix}
0 & c^2 & b^2 & u_i^2 & 1 \\
c^2 & 0 & a^2 & v_i^2 & 1 \\
b^2 & a^2 & 0 & w_i^2 & 1 \\
u_i^2 & v_i^2 & w_i^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} = 288*V_i^2 = 0 \quad(i=1,2) \]
其实，northwolves 在 6# 里的方法就可以解出来了（里面的公式排版有点小问题），
楼主可能追求的是一种更“美”的表达式。。。
数学星空 发表于 2014-2-16 20:30
对于2#的方程，我们可以得到
\(\alpha = -(a^4u_1^2-a^2b^2v_1^2-a^2c^2w_1^2-a^2u_1^4+a^2v_1^2w_1^2+b^2 ...
这一定是你计算上的失误所致，即使我在2L所给答案是错的，在4L所给的式子也决不会错.
在9#我已提到，其实不需要太多计算
分别在四边形\(APQB,APQC,BPQC\)中利用11#公式可得
\((-v_1^2+v_2^2+x^2)^2u_2^2+(-u_1^2+u_2^2+x^2)^2v_2^2+(-c^2+u_2^2+v_2^2)^2x^2-(-v_1^2+v_2^2+x^2)(-u_1^2+u_2^2+x^2)(-c^2+u_2^2+v_2^2)-4u_2^2v_2^2x^2＝0\)
\((-w_1^2+w_2^2+x^2)^2u_2^2+(-b^2+u_2^2+w_2^2)^2x^2+(-u_1^2+u_2^2+x^2)^2w_2^2-(-w_1^2+w_2^2+x^2)(-b^2+u_2^2+w_2^2)(-u_1^2+u_2^2+x^2)-4u_2^2x^2w_2^2＝0\)
\((-a^2+v_2^2+w_2^2)^2x^2+(-w_1^2+w_2^2+x^2)^2v_2^2+(-v_1^2+v_2^2+x^2)^2w_2^2-(-a^2+v_2^2+w_2^2)(-w_1^2+w_2^2+x^2)(-v_1^2+v_2^2+x^2)-4x^2v_2^2w_2^2＝0\)
将以上三式相加就可以得到我们需要的结果（为了得到比较对称的一种做法）
\(-a^2v_2^2w_1^2+a^2v_1^2w_1^2+a^2v_2^2w_2^2-a^2v_1^2w_2^2-v_1^2v_2^2w_1^2-v_1^2v_2^2w_2^2-v_1^2w_1^2w_2^2-v_2^2w_1^2w_2^2+v_1^2u_2^4+v_2^2u_1^4+v_2^4u_1^2+w_2^4u_1^2+w_1^2u_2^4+u_2^2v_1^4+
u_2^2w_1^4+w_2^2u_1^4+(a^2+b^2+c^2)x^4+(a^4-a^2v_1^2-a^2v_2^2-a^2w_1^2-a^2w_2^2+b^4-b^2u_1^2-b^2u_2^2-b^2w_1^2-b^2w_2^2+c^4-c^2u_1^2-c^2u_2^2-c^2v_1^2-c^2v_2^2+2u_1^2u_2^2-u_1^2v_2^2-
u_1^2w_2^2-u_2^2v_1^2-u_2^2w_1^2+2v_1^2v_2^2-v_1^2w_2^2-v_2^2w_1^2+2w_1^2w_2^2)x^2+v_1^4w_2^2+v_1^2w_2^4+v_2^4w_1^2+v_2^2w_1^4+w_2^2b^2u_2^2+w_1^2b^2u_1^2-w_2^2w_1^2u_1^2-w_1^2b^2u_2^2-
w_1^2u_2^2u_1^2-u_2^2v_2^2v_1^2-w_2^2b^2u_1^2-v_2^2u_2^2u_1^2-w_2^2u_2^2u_1^2-v_2^2u_1^2c^2+u_2^2v_2^2c^2+v_1^2u_1^2c^2-v_1^2u_1^2u_2^2-v_1^2u_1^2v_2^2-v_1^2u_2^2c^2-u_2^2w_2^2w_1^2＝0\)
我们可以利用下面数据验证以上公式的正确性
\(a = 1, b = 1, c = 1, u_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}, v_1 = \frac{1}{2}, w_1 = \frac{1}{2}, u_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}, v_2 =\frac{\sqrt{3}}{3}, w_2 =\frac{\sqrt{3}}{3}, x =\frac{\sqrt{3}}{6}\)
\(a = 3, b = 4, c = 5, u_1 =\frac{16}{5}, v_1 = \frac{9}{5}, w_1 =\frac{12}{5}, u_2 =\frac{5}{2}, v_2 =\frac{5}{2}, w_2 =\frac{5}{2}, x =\frac{7}{10}\)
上面的公式我们可以称为‘心距万能公式’，下面是具体的应用。
我们先计算大家熟知的外心\(O\),内心\(I\),垂心\(H\),重心\(G\)两两之间的心距公式
\(AI =\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{\frac{p-a}{p}}}, BI =\frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{\frac{p-b}{p}}}, CI = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{\frac{p-c}{p}}}\)
\(AH =\frac{a(-a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4}}, BH =\frac{b(a^2-b^2+c^2)}{\sqrt{-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4}}, CH =\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{\sqrt{-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4}}\)
\(AG = \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{3}, BG =\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{3}, CG =\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{3}\)
\(AO = \frac{abc}{\sqrt{-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4}}, BO =\frac{abc}{\sqrt{-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4}}, CO =\frac{abc}{\sqrt{-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4}}\)
分别代入‘心距万能公式’得到
1.\(9(a+b+c)(-b+a-c)(b+a-c)(a-b+c)HG^2+4b^6-4a^4b^2-4b^4c^2-4a^4c^2-4b^2c^4+4c^6+4a^6-4a^2b^4+12a^2b^2c^2-4a^2c^4＝0\)
2.\((a+b+c)(-b+a-c)(b+a-c)(a-b+c)HO^2+b^6-a^2b^4-a^4b^2+a^6-b^4c^2+3a^2b^2c^2-a^4c^2-b^2c^4-a^2c^4+c^6＝0\)
3.\((a+b+c)(-b+a-c)(b+a-c)(a-b+c)HI^2-c^5a-a^5c-ba^5-bc^5-b^5c-b^5a-a^4b^2-b^4c^2-a^4c^2-b^2c^4-a^2b^4-a^2c^4+2b^3c^3+2a^3c^3+2b^3a^3+b^6+c^6+a^6+3bca^4-2bc^3a^2+3b^4ac-2a^3b^2c-2ba^3c^2+6a^2b^2c^2-2b^2c^3a-2b^3ac^2-2b^3ca^2+3bac^4＝0\)
4.\(9(a+b+c)(-b+a-c)(b+a-c)(a-b+c)OG^2+b^6-a^2b^4-a^4b^2+a^6-b^4c^2+3a^2b^2c^2-a^4c^2-b^2c^4-a^2c^4+c^6＝0\)
5.\((9b+9a+9c)GI^2+b^3-2b^2a-2ba^2+a^3-2b^2c+9bca-2a^2c-2bc^2-2ac^2+c^3＝0\)
6. \((a+b+c)(-b+a-c)(b+a-c)(a-b+c)OI^2+bca(a^3-a^2b-a^2c-ab^2+3abc-ac^2+b^3-b^2c-bc^2+c^3)＝0\)
对于以上结果：
我们代入\(a=y+z,b=x+z,c=x+y\),则有
1.\(-144xzy(y+z+x)HG^2-56z^4yx-40x^3zy^2-40x^3z^2y-40z^3y^2x-40z^3yx^2-40zy^3x^2-56x^4zy-56y^4xz-24z^2y^2x^2-40z^2y^3x+36x^4z^2+72x^3z^3+36x^2z^4+36z^4y^2+72z^3y^3+36y^4x^2+36y^4z^2+36x^4y^2+72x^3y^3=0\)
2.\(-16xzy(y+z+x)HO^2+9x^4z^2-14z^4yx-10x^3zy^2-10x^3z^2y-10z^3y^2x-10z^3yx^2-10zy^3x^2-14x^4zy-14y^4xz-6z^2y^2x^2-10z^2y^3x+9x^2z^4+9z^4y^2+18z^3y^3+18x^3z^3+9y^4z^2+9x^4y^2+18x^3y^3+9y^4x^2=0\)
3.\(-16xzy(y+z+x)HI^2-8z^4yx-8x^3zy^2-8x^3z^2y-8z^3y^2x-8z^3yx^2-8zy^3x^2-8x^4zy-8y^4xz+24z^2y^2x^2-8z^2y^3x+4x^4z^2+8x^3z^3+4x^2z^4+4z^4y^2+8z^3y^3+4y^4x^2+4y^4z^2+4x^4y^2+8x^3y^3=0\)
4.\(-144xzy(y+z+x)OG^2-14z^4yx-10x^3zy^2-10x^3z^2y-10z^3y^2x-10z^3yx^2-10zy^3x^2-14x^4zy-14y^4xz-6z^2y^2x^2-10z^2y^3x+9x^4z^2+18x^3z^3+9x^2z^4+9z^4y^2+18z^3y^3+9y^4x^2+9y^4z^2+9x^4y^2+18x^3y^3=0\)
5.\((18x+18z+18y)GI^2-6xzy-2x^3-2z^3-2y^3+2x^2z+2xz^2+2z^2y+2zy^2+2x^2y+2xy^2=0\)
6.\(-16xzy(y+z+x)OI^2+(x+z)(x+y)(z+y)(x^2y+x^2z+xy^2-6xyz+xz^2+y^2z+yz^2)=0\)
若以\(R,r,S\)表示心距公式
\(9HG^2r^2-36R^2r^2-32Rr^3-8r^4+8S^2＝0\)
\(HO^2r^2-9R^2r^2-8Rr^3-2r^4+2S^2=0\)
\(HI^2r^2-4R^2r^2-4Rr^3-3r^4+S^2=0\)
\(9OG^2r^2-9R^2r^2-8Rr^3-2r^4+2S^2=0\)
\(9GI^2r^2+16Rr^3-5r^4-S^2=0\)
\( OI^2-R^2+2Rr=0\)
若以\(R,r,p\)表示心距公式
\(9HG^2-36R^2-32Rr+8p^2-8r^2=0\)
\(HO^2-9R^2-8Rr+2p^2-2r^2=0\)
\(HI^2-4R^2-4Rr+p^2-3r^2=0\)
\(9OG^2-9R^2-8Rr+2p^2-2r^2=0\)
\(9GI^2+16Rr-p^2-5r^2\)
\(OI^2-R^2+2Rr=0\)
注
\(p=\frac{a+b+c}{2}\)为半周长，
\(S=\frac{\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}}{4}\)为\(\triangle ABC\)面积
\(R=\frac{abc}{\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}}\)为\(\triangle ABC\)外接圆半径
\(r=\frac{\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}}{2(a+b+c)}\)为\(\triangle ABC\)内切圆半径
上面的计算利用了下面公式
\(s_1=a+b+c=2p\)
\(s_2=ab+ac+bc=\frac{4Rr^3+r^4+S^2}{r^2}=4Rr+p^2+r^2\)
\(s_3=abc=4RS=4Rpr\)
我们可以利用‘万能心距公式’计算‘陈都提出的完全心距公式（他得到的公式都很美）’
1.三个旁心\(O_1,O_2,O_3\)
2.费马点\(F\)
3.九点圆圆心\(L\)(为防止代号重复取Euler 中的L)
4.正负等角中心\(E,F\),具体可见三角形正负等角中心间距
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5094-1-1.html 1#陈都定义
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为了防止与费马点\(F\)重复定义，后面将正负等角点重新定义为\(E_1,E_2\),其实\(E_1\)点就是广义的费马点\(F\)
5.Steiner椭圆焦点\(F_1,F_2\),具体可见
椭圆内接N边形的最大面积
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4267&fromuid=1455
6.正负等力点\(S,T\),可见
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5094-3-1.html 28#陈都定义
7...
以前我写过一篇小短文，对于你所提的绝大多数几何问题，是可以容易解决的。后来知道国外也早有人用重心坐标解决几何问题的，并且给出了几千个点的重心坐标，可惜始终没有流行开来。无毒史那一套建立在复数+仿射方法上的系统，大约也是正确的，但是他的东西实在古怪，运算过程又隐于软件中，加上他梦呓般说话显得古老，倒是乏人问津。无论怎样，都可以看到一个很明确的趋势，几何是在与代数融合。解析几何，三角函数，复数，射影几何都是将几何对象转化成代数。代数的发展状况直接制约着几何的发展。当然，几何直观上的优势还是有的，能给人以灵感上的启迪创造，但是就初等几何而言，似乎已经很有限了。
文中一些论述可能有失偏颇，大约是令人不快的，这仅是个人的观点，各位倒无须放在心上，两日后我会删除这段回复。