一道数列通项公式的探求
已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，且：\[\sqrt{\frac n 2}\*a_n=\frac{3\sqrt3\*n^2+\sqrt3n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\>\right)a_{n-1}}{(n-1)\*\sqrt{n-1}}\] 求：\(a_n\)想问一下该数列是否存在通项公式？如果存在的话会是什么形式？如果不存在，是否能证明或说明该数列为什么没有通项公式。
由于这个递推关系式比较乱，一直找不到思路，该题也在百度数列吧发了，其中有个人将其变形为 \(b_n=3n!+\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\>\right)b_{n-1}\) 也没有思路了... 问题来源？是什么启发了你探究这个数列？ Lwins_G 发表于 2014-3-10 19:56
问题来源？是什么启发了你探究这个数列？
源自我编的一道数列, 本来应该是一道可以化为线性数列的题,结果在编题的过程中由于某些运算出了些问题, 导致最后化简后的递推式成了这个样子, 之前的解法也行不通了 于是我就想,既然这样不妨看看这个递推式是否存在通项, 即便不存在通项,也至少要知道为什么不存在. 而且这道题我也请教过很多人, 目前还没有能够给出解答的.. 难道又是“X-Y问题” http://m.wolframalpha.com/input/?i=a%281%29%3D1%2C+a%28n%29%3D%283sqrt%283%29n%5E2%2Bsqrt%283%29n%28sqrt%28n%2B1%29%2Bsqrt%28n-1%29%29a%28n-1%29%29%2F%28n-1%29%5E%283%2F2%29%2Fsqrt%28n%2F2%29&x=0&y=0
用wolfram alpha表示出的数列图像 如下用mathematica解出的，可以算是通项公式吗？
\[ a\to \left(\prod _{K=1}^{-1+n} \frac{\sqrt{6} \sqrt{1+K} \left(\sqrt{K}+\sqrt{2+K}\right)}{K^{3/2}}\right) \left(1+\sum _{K=1}^{-1+n} \frac{3 \sqrt{6} (1+K)^{3/2}}{K^{3/2} \prod\limits_{K=1}^{K} \frac{\sqrt{6} \sqrt{1+K} \left(\sqrt{K}+\sqrt{2+K}\right)}{K^{3/2}}}\right) \] K是什么? 我也用Mathematica计算了,证实楼上 dianyancao的计算是正确的.
因此,此题就有一种解决方案, 先解出某种待定形式的解,即,将式子转化成\( a_n+g(n) = f(n)*(a_{n-1}+g(n-1))\)的形式, 于是$a_n$ 就可以解出来了.
\[ a_n =\left(\prod _{j=1}^{n-1} \frac{\sqrt{6} \sqrt{j+1} \left(\sqrt{j}+\sqrt{j+2}\right)}{j^{3/2}}\right) \left(1+\sum _{k=1}^{n-1} \frac{3 \sqrt{6}}{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3/2} \prod _{j=1}^k \frac{\sqrt{6} \sqrt{j+1} \left(\sqrt{j}+\sqrt{j+2}\right)}{j^{3/2}}}\right) \]
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