一道数列通项公式的探求

qiao1300

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，且：\[\sqrt{\frac n 2}\*a_n=\frac{3\sqrt3\*n^2+\sqrt3n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\>\right)a_{n-1}}{(n-1)\*\sqrt{n-1}}\] 求：\(a_n\)

想问一下该数列是否存在通项公式？如果存在的话会是什么形式？如果不存在，是否能证明或说明该数列为什么没有通项公式。
由于这个递推关系式比较乱，一直找不到思路，该题也在百度数列吧发了，其中有个人将其变形为 \(b_n=3n!+\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\>\right)b_{n-1}\) 也没有思路了...

Lwins_G

问题来源？是什么启发了你探究这个数列？

qiao1300

Lwins_G 发表于 2014-3-10 19:56
问题来源？是什么启发了你探究这个数列？

源自我编的一道数列, 本来应该是一道可以化为线性数列的题,结果在编题的过程中由于某些运算出了些问题, 导致最后化简后的递推式成了这个样子, 之前的解法也行不通了 于是我就想,既然这样不妨看看这个递推式是否存在通项, 即便不存在通项,也至少要知道为什么不存在. 而且这道题我也请教过很多人, 目前还没有能够给出解答的..

BeerRabbit

难道又是“X-Y问题”

qiao1300

http://m.wolframalpha.com/input/ ... %29&x=0&y=0

用wolfram alpha表示出的数列图像

dianyancao

如下用mathematica解出的，可以算是通项公式吗？
\[ a[n]\to \left(\prod _{K[1]=1}^{-1+n} \frac{\sqrt{6} \sqrt{1+K[1]} \left(\sqrt{K[1]}+\sqrt{2+K[1]}\right)}{K[1]^{3/2}}\right) \left(1+\sum _{K[2]=1}^{-1+n} \frac{3 \sqrt{6} (1+K[2])^{3/2}}{K[2]^{3/2} \prod\limits_{K[1]=1}^{K[2]} \frac{\sqrt{6} \sqrt{1+K[1]} \left(\sqrt{K[1]}+\sqrt{2+K[1]}\right)}{K[1]^{3/2}}}\right) \]

qiao1300

K是什么?

wayne

我也用Mathematica计算了,证实楼上 dianyancao的计算是正确的.
因此,此题就有一种解决方案, 先解出某种待定形式的解,  即,将式子转化成  \( a_n+g(n) = f(n)*(a_{n-1}+g(n-1))\)  的形式, 于是  $a_n$ 就可以解出来了.

\[ a_n =\left(\prod _{j=1}^{n-1} \frac{\sqrt{6} \sqrt{j+1} \left(\sqrt{j}+\sqrt{j+2}\right)}{j^{3/2}}\right) \left(1+\sum _{k=1}^{n-1} \frac{3 \sqrt{6}}{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3/2} \prod _{j=1}^k \frac{\sqrt{6} \sqrt{j+1} \left(\sqrt{j}+\sqrt{j+2}\right)}{j^{3/2}}}\right) \]