不用三角函数求出 ∠BAC 的度数
如图，四边形 \(ABCD\) 中，连接对角线 \(AC\) 、\(BD\)，若 \(\angle ABD = 40\degree,\; \angle ADB = 80\degree,\; \angle CBD = 70\degree,\; \angle CDB = 50\degree\)，求 \(\angle BAC\) 的度数。由于这图画得太准，所以目测是30°，然后执果索因才知道这道题的妙处: ) 定理) 三角形的两个外角平分线交于一点,则另一个角的内角平分线一定过该点.
由此推出 \(C\) 点是三角形 \(\triangle ABD\) 的旁心, 即 \(AC\) 是 \( \angle BAC\)的角平分线. 故是 \(30\degree\) 楼上两位都是高手。:b:
机缘巧合，方有妙解。 尝试利用3/4边形内角和为180/360，构造了个四元一次方程组。解的时候发现，线性相关，无果。 搜了下，这个题目 在matrix67的博客里出现过
http://www.matrix67.com/blog/archives/5398 用解析方式求解下
取BD=常数\(c_1\)，则该四边形中的所有三角形角度和边长都能确定
接着应用正弦定理，得到方程组：
\[\begin{cases}
\frac{AB}{\sin 80 \degree} = \frac{c_1}{\sin 60 \degree}=常数c_2 \\
\frac{BC}{\sin 50 \degree} = \frac{c_1}{\sin 60 \degree}=常数c_2 \\
\frac{BC}{\sin x}= \frac{AB}{\sin(70 \degree - x)}
\end{cases}
\]
解之，得\(x=30 \degree\)
貌似将上述方程组直接丢给mathematica，算了半天没解出来 dianyancao 发表于 2014-3-13 04:26
用解析方式求解下
取BD=常数\(c_1\)，则该四边形中的所有三角形角度和边长都能确定
Mathematica可以解的，不过一些三角函数方程需要用点技巧能算得更快
Sin/BC == Sin/AB //. {d -> Pi/180, AB -> Sin/Sin, BC -> Sin/Sin}
Solve[% && 0 < x < Pi, x] // FullSimplify
补充内容 (2014-3-14 19:05):
或者
Solve==BD/Sin,BC/Sin==BD/Sin,BC/Sin==AB/Sin},x,{AB,BC}]
然后FullSimplify就行了，v9的Solve解三角方程和旧版有些不同，试试System`Private`OldSolve 直接用Degree表示角度，算半天没出来
可能是我的mathematica版本太低了，我去下载新版本的试试，哈
In:= Solve[
Sin/Sin == Sin/Sin /.
Degree -> Pi/180, x] // FullSimplify
During evaluation of In:= Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. >>
Out= {{x -> \/6}}
In:= FullSimplify[(Sin Sin)/(Sin +
Sin Cos)]
Out= 1/Sqrt chyanog 发表于 2014-3-13 18:09
Mathematica可以解的，不过一些三角函数方程需要用点技巧能算得更快
Sin/BC == Sin/AB...
是的，v9的Solve和Reduce一样强大了
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