不用三角函数求出 ∠BAC 的度数

gxqcn

如图，四边形 \(ABCD\) 中，连接对角线 \(AC\) 、\(BD\)，若 \(\angle ABD = 40\degree,\; \angle ADB = 80\degree,\; \angle CBD = 70\degree,\; \angle CDB = 50\degree\)，求 \(\angle BAC\) 的度数。

Lwins_G

由于这图画得太准，所以目测是30°，然后执果索因才知道这道题的妙处: )

wayne

定理) 三角形的两个外角平分线交于一点,则另一个角的内角平分线一定过该点.

由此推出 \(C\) 点是三角形 \(\triangle ABD\) 的旁心, 即 \(AC\) 是 \( \angle BAC\)的角平分线. 故是 \(30\degree\)

gxqcn

楼上两位都是高手。

机缘巧合，方有妙解。

liangbch

尝试利用3/4边形内角和为180/360，构造了个四元一次方程组。解的时候发现，线性相关，无果。

wayne

搜了下，这个题目 在matrix67的博客里出现过
http://www.matrix67.com/blog/archives/5398

dianyancao

用解析方式求解下

取BD=常数\(c_1\)，则该四边形中的所有三角形角度和边长都能确定
接着应用正弦定理，得到方程组：
\[  \begin{cases}
    \frac{AB}{\sin 80 \degree} = \frac{c_1}{\sin 60 \degree}=常数c_2 \\
    \frac{BC}{\sin 50 \degree} = \frac{c_1}{\sin 60 \degree}=常数c_2 \\
    \frac{BC}{\sin x}= \frac{AB}{\sin(70 \degree - x)}
    \end{cases}
\]
解之，得\(x=30 \degree\)

貌似将上述方程组直接丢给mathematica，算了半天没解出来

chyanog

dianyancao 发表于 2014-3-13 04:26
用解析方式求解下

取BD=常数\(c_1\)，则该四边形中的所有三角形角度和边长都能确定

Mathematica可以解的，不过一些三角函数方程需要用点技巧能算得更快

1. Sin[x]/BC == Sin[110 d + x]/AB //. {d -> Pi/180, AB -> Sin[80 d]/Sin[60 d], BC -> Sin[50 d]/Sin[60 d]}
   
2. Solve[% && 0 < x < Pi, x] // FullSimplify

复制代码

补充内容 (2014-3-14 19:05):
或者

1. Solve[Pi/180/.d_:>{AB/Sin[80d]==BD/Sin[60d],BC/Sin[50d]==BD/Sin[60d],BC/Sin[x]==AB/Sin[70d-x]},x,{AB,BC}]

复制代码

然后FullSimplify就行了，v9的Solve解三角方程和旧版有些不同，试试System`Private`OldSolve

dianyancao

直接用Degree表示角度，算半天没出来
可能是我的mathematica版本太低了，我去下载新版本的试试，哈

1. In[1]:= Solve[
   
2.   Sin[50 Degree]/Sin[x] == Sin[80 Degree]/Sin[70 Degree - x ] /.
   
3.    Degree -> Pi/180, x] // FullSimplify
   
4. 
   
5. During evaluation of In[1]:= Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. >>
   
6. 
   
7. Out[1]= {{x -> \[Pi]/6}}
   
8. 
   
9. In[2]:= FullSimplify[(Sin[50 Degree] Sin[70 Degree])/(Sin[80 Degree] +
   
10.      Sin[50 Degree] Cos[70 Degree])]
    
11. 
    
12. Out[2]= 1/Sqrt[3]

复制代码

dianyancao

chyanog 发表于 2014-3-13 18:09
Mathematica可以解的，不过一些三角函数方程需要用点技巧能算得更快

Sin[x]/BC == Sin[110 d + x]/AB  ...

是的，v9的Solve和Reduce一样强大了