论坛 › 难题征解 › 素数倒数的交错级数收敛吗？1/2-1/3+1/5-1/7+1/11-1/13......

cn8888 发表于 2014-5-4 13:21:33

素数倒数的交错级数收敛吗？1/2-1/3+1/5-1/7+1/11-1/13......

1/2-1/3+1/5-1/7+1/11-1/13......
所有的素数的倒数交错级数（正负相间），
求和，请问收敛吗？

cn8888 发表于 2014-5-4 13:32:47

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
li=Table, {k, 1, 100000}];
zf=-1;sum=0;Do],{k,1,50}];Print];
zf=-1;sum=0;Do],{k,1,500}];Print];
zf=-1;sum=0;Do],{k,1,5000}];Print];
zf=-1;sum=0;Do],{k,1,8000}];Print];
zf=-1;sum=0;Do],{k,1,100000}];Print];

看代码运行结果，感觉是收敛的

cn8888 发表于 2014-5-4 13:35:15

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)li =
Table, {k, 1, 100000}];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[], {k, 1, 50}]; Print];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[], {k, 1, 500}]; Print];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[], {k, 1, 5000}]; Print];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[], {k, 1, 8000}]; Print];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[], {k, 1, 100000}]; Print];


0.2674393196

0.2694645459

0.2695961048

0.2696001659

0.2696059662

cn8888 发表于 2014-5-4 13:37:00

       Decimal expansion of sum of alternating series of reciprocals of primes
http://oeis.org/A078437
http://math.stackexchange.com/questions/241728/convergence-of-alternating-series-based-on-prime-numbers

mathe 发表于 2014-5-4 16:09:47

收敛是显然的，所有交叉递减数列，如果单项极限为0，必然收敛

wayne 发表于 2014-5-4 16:31:39

课本里的东西，这个叫莱布尼兹深敛法则。

另外，其值必然小于log(2)

====
多说一句，cn8888的Mathematica代码简直不忍直视。

cn8888 发表于 2014-5-4 16:33:06

mathe 发表于 2014-5-4 16:09
收敛是显然的，所有交叉递减数列，如果单项极限为0，必然收敛

好像高等数学有这么一个规定,
不过已经好久不接触了******
罪过呀

cn8888 发表于 2014-5-4 16:49:07

wayne 发表于 2014-5-4 16:31
课本里的东西，这个叫莱布尼兹深敛法则。

另外，其值必然小于log(2)


为什么必然小于log(2)?
是1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6......?
我的代码很简单的.为了比较,所以好几行写在一行.
你的代码我不敢直视,因为嵌套太多.太复杂了

cn8888 发表于 2014-5-4 16:50:37

忙了,不和你说了

liangbch 发表于 2014-5-4 17:55:31

这个数列的和是收敛的，其极限是0.2696063519，请参阅https://oeis.org/A078437。另外，关于前n项的和的分子和分母请参阅https://oeis.org/A024530和https://oeis.org/A002110

查看完整版本: 素数倒数的交错级数收敛吗？1/2-1/3+1/5-1/7+1/11-1/13......