对于\(f(x+u)-f(u)=L\),若已知\(u,L\),求\(x\)? 已假定 \(a>0\)
当\(x \to 0\) 时可以利用泰勒展开式得到：
\(576L^2(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^5-576(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^6x^2-576a(au+b)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^5x^3-48a^2(3a^2u^2+6abu+3b^2+4c^2)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^4x^4+48a^3c^2(au+b)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^3x^5+8a^4c^2(9a^2u^2+18abu+9b^2-2c^2)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^2x^6+24a^5c^4(au+b)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)x^7-9(au+b)^2a^6c^4x^8=0\)
若可以忽略\(O(x^3)\),可以得到
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数学星空 发表于 2014-5-23 20:31
对于\(f(x+u)-f(u)=L\),若已知\(u,L\),求\(x\)? 已假定 \(a>0\)
当\(x \to 0\) 时可以利用泰勒展开式得 ...
既然$u$是确定的，那么我们可以将函数方程所在的坐标系向左平移$u$个单位，那个方程变成$ f(x)-f(0)=L$
这样就更好理解该问题的本质了
gxqcn 发表于 2014-5-22 21:16
就是说，把不定积分换作定积分，已知定积分之结果及下限，求上限（也可看作是求增量）的问题。
求定积分的过程 就是根据曲线C，上限a，下限b，得出一个值v的过程，即三个独立的量变成 一个量的过程，这里面约束关系有两个自由度。
反过来，已知v,a,求b,C 恐怕性质变了。即由两个独立的量索求其中一个独立的量，还有一个自由度在哪
我没看明白啊。。。
现在是，保持曲线C不变，已知某个区间下的积分v，以及区间的起始值a，现在要计算区间的终止值b，不存在自由度缺失的问题啊？
这么说吧，原始的需求如下：\[\ell(t)=\int_0^t\sqrt{\omega^2(kt+r)^2+k^2+h^2}\dif t\]
(1) 求上述定积分（关键点前已解决）；
(2) 若已知 \(L=\ell(t)\)，请计算对应的 \(t=?\)
我的意思是说你那个方程本质就是 solve(g(x)=L,x) 啊。
如果取反函数不算显式表达的话，那就是等同于某一复杂单调函数的求根了.
方程求根问题是非常常见的案例了，基本上就是数值求解了
\[-\frac{b \sqrt{b^2+c^2}+c^2 \log \left(\sqrt{b^2+c^2}+b\right)}{2 a}+\frac{(a x+b) \sqrt{(a x+b)^2+c^2}+c^2 \log \left(\sqrt{(a x+b)^2+c^2}+a x+b\right)}{2 a}-L=0\]
比如：a = 2; b = 3; c = 4; 那么L(t)=2,
t=InverseFunction
=Root[{-8+16 Log]+3 Sqrt+2 #1 Sqrt&,-2.36044322161287105528614578457}]
=-2.360443221612871055286145784571486089435892241985501679500290776157181344751015754284897003659110184
先求解t可能更加简单，可以先解
\(\dfrac{c^2}{4a}(2t+\sinh(2t))=C\)
牛顿法应该很有效
对于15#的问题：
\(-2Lktw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2}ktw-2Lkw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2}rw-\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2}rw+\ln(ktw+rw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2})h^2+\ln(ktw+rw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2})k^2-\ln(rw+\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2})h^2-\ln(rw+\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2})k^2=0\)
第2问就是已知\(k,w,r,h,L\),求超越方程的根\(t\)
我试着用Maple 算了一下：
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当\(0\lt\frac{m}{n}\lt 1\)时才有效
其实直接求解超越方程的根最方便，有效。
是的，如mathe所言, 要论求根的方便程度，用kastin的代换方法：\
\(t+\sinh(t)=T\)
牛顿迭代法就是
\(t_{n+1}=\frac{t_n\cosh(t_n)-\sinh(t_n)+T}{1+\cosh(t_n)}\)
收敛速度应该会很快