求一积分结果（若有推导过程最好）

数学星空

对于\(f(x+u)-f(u)=L\),若已知\(u,L\),求\(x\)? 已假定 \(a>0\)

当\(x \to 0\) 时可以利用泰勒展开式得到：


\(576L^2(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^5-576(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^6x^2-576a(au+b)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^5x^3-48a^2(3a^2u^2+6abu+3b^2+4c^2)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^4x^4+48a^3c^2(au+b)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^3x^5+8a^4c^2(9a^2u^2+18abu+9b^2-2c^2)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)^2x^6+24a^5c^4(au+b)(a^2u^2+2abu+b^2+c^2)x^7-9(au+b)^2a^6c^4x^8=0\)

若可以忽略\(O(x^3)\),可以得到

\[x=\frac{L}{\sqrt{a^2u^2+2abu+b^2+c^2}}\]

wayne

数学星空 发表于 2014-5-23 20:31
对于\(f(x+u)-f(u)=L\),若已知\(u,L\),求\(x\)? 已假定 \(a>0\)

当\(x \to 0\) 时可以利用泰勒展开式得 ...

既然$u$是确定的，那么我们可以将函数方程所在的坐标系向左平移$u$个单位，那个方程变成$ f(x)-f(0)=L$
这样就更好理解该问题的本质了

wayne

gxqcn 发表于 2014-5-22 21:16
就是说，把不定积分换作定积分，已知定积分之结果及下限，求上限（也可看作是求增量）的问题。

求定积分的过程 就是根据曲线C，上限a，下限b，得出一个值v的过程，即三个独立的量变成 一个量的过程，这里面约束关系有两个自由度。

反过来，已知v,a,求b,C 恐怕性质变了。即由两个独立的量索求其中一个独立的量，还有一个自由度在哪

gxqcn

我没看明白啊。。。

现在是，保持曲线C不变，已知某个区间下的积分v，以及区间的起始值a，现在要计算区间的终止值b，不存在自由度缺失的问题啊？

gxqcn

这么说吧，原始的需求如下：\[\ell(t)=\int_0^t\sqrt{\omega^2(kt+r)^2+k^2+h^2}\dif t\]
(1) 求上述定积分（关键点前已解决）；
(2) 若已知 \(L=\ell(t)\)，请计算对应的 \(t=?\)

wayne

我的意思是说你那个方程本质就是 solve(g(x)=L,x) 啊。
如果取反函数不算显式表达的话，那就是等同于某一复杂单调函数的求根了.

方程求根问题是非常常见的案例了，基本上就是数值求解了

\[-\frac{b \sqrt{b^2+c^2}+c^2 \log \left(\sqrt{b^2+c^2}+b\right)}{2 a}+\frac{(a x+b) \sqrt{(a x+b)^2+c^2}+c^2 \log \left(\sqrt{(a x+b)^2+c^2}+a x+b\right)}{2 a}-L=0\]

比如：a = 2; b = 3; c = 4; 那么L(t)=2,

1. t=InverseFunction[f][2]
   
2. =Root[{-8+16 Log[3+2 #1+Sqrt[16+(3+2 #1)^2]]+3 Sqrt[16+(3+2 #1)^2]+2 #1 Sqrt[16+(3+2 #1)^2]&,-2.36044322161287105528614578457}]

复制代码

=-2.360443221612871055286145784571486089435892241985501679500290776157181344751015754284897003659110184

mathe

先求解t可能更加简单，可以先解
\(\dfrac{c^2}{4a}(2t+\sinh(2t))=C\)
牛顿法应该很有效

数学星空

对于15#的问题：

\(-2Lktw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2}ktw-2Lkw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2}rw-\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2}rw+\ln(ktw+rw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2})h^2+\ln(ktw+rw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2})k^2-\ln(rw+\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2})h^2-\ln(rw+\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2})k^2=0\)

第2问就是已知\(k,w,r,h,L\),求超越方程的根\(t\)

我试着用Maple 算了一下：

\[c =\frac{\sqrt{h^2+k^2}}{w}\]

\[m = kw-\frac{1}{4} \frac{\ln(\frac{h^2+k^2}{w^2})}{\frac{1}{2}\frac{\ln(r+\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2})+r\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2}}{kw}+L}\]

\[n = \frac{h^2+k^2}{w^2}+1\]

\[y = \frac{1}{2}\frac{\ln(r+\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2})+r\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2}}{kw}+L\]

\[t=\frac{x-r}{k}\]


\[x=\frac{2cym}{n}-\frac{4}{3}\frac{cy^3(3c^2-1)m^3}{n^4}+\frac{4}{15}\frac{cy^5(105c^4-54c^2+1)m^5}{n^7}-\frac{8}{315}\frac{cy^7(10395c^6-6987c^4+537c^2-1)m^7}{n^{10}}+\frac{4}{2835}\frac{cy^9(2027025c^8-1667340c^6+243126c^4-4908c^2+1)m^9}{n^{13}}\]

当\(0\lt\frac{m}{n}\lt 1\)时才有效

其实直接求解超越方程的根最方便，有效。

wayne

是的，如mathe所言, 要论求根的方便程度，用kastin的代换方法：\[f(\frac{c\cdot sinh(\frac{t}{2})-b}{a})=\frac{c^2}{4a}(t+sinh(t)) = L\]

mathe

\(t+\sinh(t)=T\)
牛顿迭代法就是
\(t_{n+1}=\frac{t_n\cosh(t_n)-\sinh(t_n)+T}{1+\cosh(t_n)}\)
收敛速度应该会很快