求一积分结果（若有推导过程最好）

gxqcn

\(\D f(x)=\int\sqrt{(a*x+b)^2+c^2}\ \dif x\)
其中，\(a,b,c\) 均为常量。

mathe

把ax+b替换为c*tan(t)

gxqcn

mathe 发表于 2014-5-22 16:29
把ax+b替换为c*tan(t)

令 \(ax+b=c\tan(t)\)，则 \(\dif x = \frac{c}{a}\dif \tan(t)= \frac{c}{a} \sec^2(t)\dif t\)

\(\D\therefore f(x)=\int c*\sec(t) * \frac{c}{a} \sec^2(t)\ \dif t = \frac{c^2}{a}\int\sec^3(t)\ \dif t =\cdots\)（后面的不会了。。。）

我用 Mathematica 得到的结果如下：
\[f(x)=\frac{(b+ax)\sqrt{c^2+(b+ax)^2}+c^2\ln\left[b+ax+\sqrt{c^2+(b+ax)^2}\right]}{2a}\]
不知可有更简化的公式否（方便计算机计算的）？

fungarwai

$\int \sec ^3 t dt=\int \sec t d(\tan t)=\sec t \tan t-\int \tan t d(\sec t)$

$=\sec t \tan t-\int \sec t \tan ^2 t dt=\sec t \tan t-\int \sec t (\sec ^2 t-1)dt$

$= \frac{1}{2} \sec t \tan t+\frac{1}{2} \int \sec t dt=\frac{1}{2} \sec t \tan t+\frac{1}{2} ln|\sec t +\tan t|+C$

kastin

gxqcn 发表于 2014-5-22 17:06
令 \(ax+b=c\tan(t)\)，则 \(\dif x = \frac{c}{a}\dif \tan(t)= \frac{c}{a} \sec^2(t)\dif t\)

\(\t ...

也可以用双曲函数，更加方便，不会涉及到正割函数。
令`ax+b=c\sinh t`，那么$$\dif t=\frac{c}{a} \dif \sinh t=\frac{c}{a} \cosh t \dif t$$ $$t=\text{asinh }\frac{ax+b}{c}=\ln \left( \frac{ax+b}{c}+\sqrt{\left(\frac{ax+b}{c}\right)^2+1}\right)$$
于是$$\eqalign{f(x)&=\int \frac{c^2}{a}\cosh^2t\dif t=\int \frac{c^2}{a}\frac{1+\cosh 2t}{2}\dif t\\
&=\frac{c^2}{2a}t+\frac{c^2}{4a}\sinh 2t +\text{const}=\frac{c^2}{2a}t+\frac{c^2}{2a}\sinh t\cosh t +\text{const}\\
&=\frac{c^2}{2a}\ln \left(ax+b+\sqrt{(ax+b)^2+c^2}\right)+\frac{ax+b}{2a}\sqrt{(ax+b)^2+c^2}+\text{const}}$$

gxqcn

这个积分是我为了推导圆锥螺旋曲线的长度的，没想到会恁复杂。

如果已知 \(u,L\)，要反解方程：\[ f(u+x)-f(u)==L\]看来也将是很复杂的。

wayne

gxqcn 发表于 2014-5-22 21:01
这个积分是我为了推导圆锥螺旋曲线的长度的，没想到会恁复杂。

如果已知 \(u,L\)，要反解方程：\[ f(u+x)- ...

u给定？没明白呢、
这个,貌似方程已经显式表达了么

gxqcn

就是说，把不定积分换作定积分，已知定积分之结果及下限，求上限（也可看作是求增量）的问题。

cn8888

\[\frac{{(b + ax)\sqrt {{c^2} + {{(b + ax)}^2}}  + {c^2}{\rm{Log}}\left[ {2\left( {b + ax + \sqrt {{c^2} + {{(b + ax)}^2}} } \right)} \right]}}{{2a}}\]
很显然,有结果就行了

cn8888

我对问题的背景感兴趣,对这个数学问题不感兴趣