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[求助] 求一积分结果(若有推导过程最好)

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发表于 2014-5-22 16:23:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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\(\D f(x)=\int\sqrt{(a*x+b)^2+c^2}\ \dif x\)
其中,\(a,b,c\) 均为常量。
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发表于 2014-5-25 09:15:26 | 显示全部楼层
对于15#的问题:

\(-2Lktw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2}ktw-2Lkw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2}rw-\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2}rw+\ln(ktw+rw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2})h^2+\ln(ktw+rw+\sqrt{k^2t^2w^2+2krtw^2+r^2w^2+h^2+k^2})k^2-\ln(rw+\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2})h^2-\ln(rw+\sqrt{r^2w^2+h^2+k^2})k^2=0\)

第2问就是已知\(k,w,r,h,L\),求超越方程的根\(t\)

我试着用Maple 算了一下:

\[c =\frac{\sqrt{h^2+k^2}}{w}\]

\[m = kw-\frac{1}{4} \frac{\ln(\frac{h^2+k^2}{w^2})}{\frac{1}{2}\frac{\ln(r+\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2})+r\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2}}{kw}+L}\]

\[n = \frac{h^2+k^2}{w^2}+1\]

\[y = \frac{1}{2}\frac{\ln(r+\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2})+r\sqrt{\frac{h^2+k^2}{w^2}+r^2}}{kw}+L\]

\[t=\frac{x-r}{k}\]


\[x=\frac{2cym}{n}-\frac{4}{3}\frac{cy^3(3c^2-1)m^3}{n^4}+\frac{4}{15}\frac{cy^5(105c^4-54c^2+1)m^5}{n^7}-\frac{8}{315}\frac{cy^7(10395c^6-6987c^4+537c^2-1)m^7}{n^{10}}+\frac{4}{2835}\frac{cy^9(2027025c^8-1667340c^6+243126c^4-4908c^2+1)m^9}{n^{13}}\]

当\(0\lt\frac{m}{n}\lt 1\)时才有效

其实直接求解超越方程的根最方便,有效。
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发表于 2014-5-25 11:04:00 | 显示全部楼层
恩,平方级收敛.
很久没写这些基础算法了,练习一下

  1. f[x_]:=x+Sinh[x]-2;
  2. FindRoot[f[x]==0,{x,0},WorkingPrecision->50]
复制代码
{x->0.93000903471256505280413348817639994538119999150908}
  1. NestList[#-f[#]/f'[#]&,2`50,10]
复制代码
2.0000000000000000000000000000000000000000000000000
1.2384058440442351118805417173952064095872314027421
0.953198930036790515919472881710464898304742450585
0.930127051464864235179849855532211861819047738319
0.930009037736175803437119838800018142474577654648
0.930009034712565054788700692694508567400047032116
0.93000903471256505280413348817639994623615973968
0.93000903471256505280413348817639994538119999151
0.93000903471256505280413348817639994538119999151
0.93000903471256505280413348817639994538119999151
0.9300090347125650528041334881763999453811999915


还可以对牛顿迭代法改进一下:
http://mathworld.wolfram.com/HouseholdersMethod.html
http://mathworld.wolfram.com/HalleysMethod.html
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发表于 2014-5-22 18:53:03 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2014-5-22 17:06
令 \(ax+b=c\tan(t)\),则 \(\dif x = \frac{c}{a}\dif \tan(t)= \frac{c}{a} \sec^2(t)\dif t\)

\(\t ...


也可以用双曲函数,更加方便,不会涉及到正割函数。
令`ax+b=c\sinh t`,那么$$\dif t=\frac{c}{a} \dif \sinh t=\frac{c}{a} \cosh t \dif t$$ $$t=\text{asinh }\frac{ax+b}{c}=\ln \left( \frac{ax+b}{c}+\sqrt{\left(\frac{ax+b}{c}\right)^2+1}\right)$$
于是$$\eqalign{f(x)&=\int \frac{c^2}{a}\cosh^2t\dif t=\int \frac{c^2}{a}\frac{1+\cosh 2t}{2}\dif t\\
&=\frac{c^2}{2a}t+\frac{c^2}{4a}\sinh 2t +\text{const}=\frac{c^2}{2a}t+\frac{c^2}{2a}\sinh t\cosh t +\text{const}\\
&=\frac{c^2}{2a}\ln \left(ax+b+\sqrt{(ax+b)^2+c^2}\right)+\frac{ax+b}{2a}\sqrt{(ax+b)^2+c^2}+\text{const}}$$

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gxqcn + 10 + 3 确实妙!排版也非常好,赞一个!

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发表于 2014-5-22 16:29:34 来自手机 | 显示全部楼层
把ax+b替换为c*tan(t)

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参与人数 2金币 +3 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
KeyTo9_Fans + 3 + 3 + 3 这贴回得神速!
gxqcn + 3 这个代换非常好!

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 楼主| 发表于 2014-5-22 17:06:58 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2014-5-22 16:29
把ax+b替换为c*tan(t)


令 \(ax+b=c\tan(t)\),则 \(\dif x = \frac{c}{a}\dif \tan(t)= \frac{c}{a} \sec^2(t)\dif t\)

\(\D\therefore f(x)=\int c*\sec(t) * \frac{c}{a} \sec^2(t)\ \dif t = \frac{c^2}{a}\int\sec^3(t)\ \dif t =\cdots\)(后面的不会了。。。

我用 Mathematica 得到的结果如下:
\[f(x)=\frac{(b+ax)\sqrt{c^2+(b+ax)^2}+c^2\ln\left[b+ax+\sqrt{c^2+(b+ax)^2}\right]}{2a}\]
不知可有更简化的公式否(方便计算机计算的)?
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发表于 2014-5-22 17:54:14 | 显示全部楼层
$\int \sec ^3 t dt=\int \sec t d(\tan t)=\sec t \tan t-\int \tan t d(\sec t)$

$=\sec t \tan t-\int \sec t \tan ^2 t dt=\sec t \tan t-\int \sec t (\sec ^2 t-1)dt$

$= \frac{1}{2} \sec t \tan t+\frac{1}{2} \int \sec t dt=\frac{1}{2} \sec t \tan t+\frac{1}{2} ln|\sec t +\tan t|+C$

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gxqcn + 10 + 3 谢谢!

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 楼主| 发表于 2014-5-22 21:01:34 | 显示全部楼层
这个积分是我为了推导圆锥螺旋曲线的长度的,没想到会恁复杂。

如果已知 \(u,L\),要反解方程:\[ f(u+x)-f(u)==L\]看来也将是很复杂的。

点评

是同一个函数。原始需求请见 15#.  发表于 2014-5-24 11:41
这里的f(x)跟1楼的f(x)是同一个吗?还是说是某个被积函数的原函数?  发表于 2014-5-24 11:36
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发表于 2014-5-22 21:12:08 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2014-5-22 21:01
这个积分是我为了推导圆锥螺旋曲线的长度的,没想到会恁复杂。

如果已知 \(u,L\),要反解方程:\[ f(u+x)- ...


u给定?没明白呢、
这个,貌似方程已经显式表达了么
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 楼主| 发表于 2014-5-22 21:16:34 | 显示全部楼层
就是说,把不定积分换作定积分,已知定积分之结果及下限,求上限(也可看作是求增量)的问题。
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发表于 2014-5-23 11:17:47 | 显示全部楼层
\[\frac{{(b + ax)\sqrt {{c^2} + {{(b + ax)}^2}}  + {c^2}{\rm{Log}}\left[ {2\left( {b + ax + \sqrt {{c^2} + {{(b + ax)}^2}} } \right)} \right]}}{{2a}}\]
很显然,有结果就行了
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发表于 2014-5-23 11:19:29 | 显示全部楼层
我对问题的背景感兴趣,对这个数学问题不感兴趣
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