特殊调和级数求和
若收敛，求下面无穷级数的和。若不收敛，请证明。$$\D\sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$$ 按照模4，分开计算。 随便用mathematica或者matlab软件算一下不就可以了吗?
何必非得要一个严格的证明呢? Sum[(-1)^(k*(k - 1)/2)*1/k, {k, 1, n}]
DifferenceRoot[
Function[{\, \}, {\ \
\[\] - \ \[
1 + \] + (-4 - \) \[
4 + \] + (4 + \) \[
5 + \] == 0, \ == 0, \ ==
1, \ == 1/2, \ == 1/6, \ ==
5/12}]]
cn8888 发表于 2014-6-29 17:31
随便用mathematica或者matlab软件算一下不就可以了吗?
何必非得要一个严格的证明呢?
Matlab只能得到数值结果，而看不出相应的根号和特殊无理数情况。
Mahtematica我现在还不知道怎么算，因为直接使用Sum函数，由于指数中含有1/2这个因子，所以它的结果仅仅转换为虚数单位的级数求和。这不是我们想要的。 用 Mathematic 计算
Sum[(-1)^(n*(n - 1)/2)/n, {n, 1, Infinity}]结果为\(\D\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{i^{n*(n-1)}}{n}}\), 明显是算不出来,换成
Expand]结果是\(\D\frac{\pi}{4} - \frac{\ln{2}}{2}\), 我认为结果就是这个。因为级数
\(\D\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(\frac1{2n}+\frac1{2n+1})\)
用 交错级数判别法 是收敛的。 wayne 发表于 2014-6-29 17:26
按照模4，分开计算。
结果是$\frac{1}{4} (\pi -\log (4))$ Mathematica code:
Block[{Floor=Identity},{Sum[(-1)^(k*(k-1)/2)*1/k//ComplexExpand,{k,n}],Sum/k,{k,n}]}]//FullSimplify 设$$f(x) = \sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}x^n, -1<x<1$$，
则\
求积分得到 \[ f(x) =\tan ^{-1}(x)-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)\]
原级数 \(\D= f(1^{-}) = \frac{\pi }{4}-\frac{\log (2)}{2}\) 本帖最后由 葡萄糖 于 2014-6-29 19:48 编辑
http://tieba.baidu.com/p/2759742949?pid=43016818017&cid=#43016818017
:DO(∩_∩)O~
这个问题百度贴吧出现过类似的，但只有近似数值。
顺便讨论下呗！
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