特殊调和级数求和

kastin

若收敛，求下面无穷级数的和。若不收敛，请证明。
$$\D\sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$$

wayne

按照模4，分开计算。

cn8888

随便用mathematica或者matlab软件算一下不就可以了吗?
何必非得要一个严格的证明呢?

cn8888

Sum[(-1)^(k*(k - 1)/2)*1/k, {k, 1, n}]

DifferenceRoot[
  Function[{\[FormalY], \[FormalN]}, {\[FormalN] \
\[FormalY][\[FormalN]] - \[FormalN] \[FormalY][
        1 + \[FormalN]] + (-4 - \[FormalN]) \[FormalY][
        4 + \[FormalN]] + (4 + \[FormalN]) \[FormalY][
        5 + \[FormalN]] == 0, \[FormalY][1] == 0, \[FormalY][2] ==
     1, \[FormalY][3] == 1/2, \[FormalY][4] == 1/6, \[FormalY][5] ==
     5/12}]][1 + n]

kastin

cn8888 发表于 2014-6-29 17:31
随便用mathematica或者matlab软件算一下不就可以了吗?
何必非得要一个严格的证明呢?

Matlab只能得到数值结果，而看不出相应的根号和特殊无理数情况。
Mahtematica我现在还不知道怎么算，因为直接使用Sum函数，由于指数中含有1/2这个因子，所以它的结果仅仅转换为虚数单位的级数求和。这不是我们想要的。

sunwukong

用 Mathematic 计算

1. Sum[(-1)^(n*(n - 1)/2)/n, {n, 1, Infinity}]

复制代码

结果为\(\D\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{i^{n*(n-1)}}{n}}\), 明显是算不出来,换成

1. Expand[1 + Sum[(-1)^n (1/(2 n) + 1/(2 n + 1)), {n, 1, Infinity}]]

复制代码

结果是\(\D\frac{\pi}{4} - \frac{\ln{2}}{2}\), 我认为结果就是这个。因为级数
\(\D\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(\frac1{2n}+\frac1{2n+1})\)
用 交错级数判别法 是收敛的。

wayne

wayne 发表于 2014-6-29 17:26
按照模4，分开计算。

结果是  $\frac{1}{4} (\pi -\log (4))$

chyanog

Mathematica code:

1. Block[{Floor=Identity},{Sum[(-1)^(k*(k-1)/2)*1/k//ComplexExpand,{k,n}],Sum[Mod[1+3 k+k^2,4,-1]/k,{k,n}]}]//FullSimplify

复制代码

wayne

设$$f(x) = \sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}x^n,      -1<x<1  $$，
则\[f'(x) = \sum_{k=1}^{\oo}(x^{4k-4}-x^{4k-3}-x^{4k-2}+x^{4k-1}) = \frac{1}{1-x^4}(1-x-x^2+x^3) = \frac{1-x}{x^2+1} \]

求积分得到 \[ f(x) =\tan ^{-1}(x)-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)\]

原级数 \(\D= f(1^{-}) = \frac{\pi }{4}-\frac{\log (2)}{2}\)

葡萄糖

http://tieba.baidu.com/p/2759742 ... mp;cid=#43016818017
O(∩_∩)O~
这个问题百度贴吧出现过类似的，但只有近似数值。
顺便讨论下呗！