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[求助] 特殊调和级数求和

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发表于 2014-6-29 16:57:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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若收敛,求下面无穷级数的和。若不收敛,请证明。
$$\D\sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-29 17:26:54 | 显示全部楼层
按照模4,分开计算。

点评

如果一个级数 能表示成有限个 收敛级数之和,那么该级数收敛、  发表于 2014-6-29 21:19
虽是这么说,但四项都是线性的,隔项组合起来相减变成分子为常数,分母为二次的类型,而这个是收敛的  发表于 2014-6-29 18:26
级数的计算不能随便加括号啊,所以分开算不一定就是收敛值。  发表于 2014-6-29 17:36
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发表于 2014-6-29 17:31:10 | 显示全部楼层
随便用mathematica或者matlab软件算一下不就可以了吗?
何必非得要一个严格的证明呢?
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发表于 2014-6-29 17:33:23 | 显示全部楼层
Sum[(-1)^(k*(k - 1)/2)*1/k, {k, 1, n}]

DifferenceRoot[
  Function[{\[FormalY], \[FormalN]}, {\[FormalN] \
\[FormalY][\[FormalN]] - \[FormalN] \[FormalY][
        1 + \[FormalN]] + (-4 - \[FormalN]) \[FormalY][
        4 + \[FormalN]] + (4 + \[FormalN]) \[FormalY][
        5 + \[FormalN]] == 0, \[FormalY][1] == 0, \[FormalY][2] ==
     1, \[FormalY][3] == 1/2, \[FormalY][4] == 1/6, \[FormalY][5] ==
     5/12}]][1 + n]
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 楼主| 发表于 2014-6-29 17:39:32 | 显示全部楼层
cn8888 发表于 2014-6-29 17:31
随便用mathematica或者matlab软件算一下不就可以了吗?
何必非得要一个严格的证明呢?

Matlab只能得到数值结果,而看不出相应的根号和特殊无理数情况。
Mahtematica我现在还不知道怎么算,因为直接使用Sum函数,由于指数中含有1/2这个因子,所以它的结果仅仅转换为虚数单位的级数求和。这不是我们想要的。
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发表于 2014-6-29 18:12:36 | 显示全部楼层
用 Mathematic 计算
  1. Sum[(-1)^(n*(n - 1)/2)/n, {n, 1, Infinity}]
复制代码
结果为\(\D\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{i^{n*(n-1)}}{n}}\), 明显是算不出来,换成
  1. Expand[1 + Sum[(-1)^n (1/(2 n) + 1/(2 n + 1)), {n, 1, Infinity}]]
复制代码
结果是\(\D\frac{\pi}{4} - \frac{\ln{2}}{2}\), 我认为结果就是这个。因为级数
\(\D\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(\frac1{2n}+\frac1{2n+1})\)
交错级数判别法 是收敛的。
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发表于 2014-6-29 18:32:34 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2014-6-29 17:26
按照模4,分开计算。

结果是  $\frac{1}{4} (\pi -\log (4))$
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发表于 2014-6-29 18:46:30 | 显示全部楼层
Mathematica code:
  1. Block[{Floor=Identity},{Sum[(-1)^(k*(k-1)/2)*1/k//ComplexExpand,{k,n}],Sum[Mod[1+3 k+k^2,4,-1]/k,{k,n}]}]//FullSimplify
复制代码
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发表于 2014-6-29 19:21:52 | 显示全部楼层
设$$f(x) = \sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}x^n,      -1<x<1  $$,
则\[f'(x) = \sum_{k=1}^{\oo}(x^{4k-4}-x^{4k-3}-x^{4k-2}+x^{4k-1}) = \frac{1}{1-x^4}(1-x-x^2+x^3) = \frac{1-x}{x^2+1} \]

求积分得到 \[ f(x) =\tan ^{-1}(x)-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)\]

原级数 \(\D= f(1^{-}) = \frac{\pi }{4}-\frac{\log (2)}{2}\)

点评

感谢 kastin 的提示。 http://zh.wikipedia.org/wiki/阿贝尔定理  发表于 2014-6-29 23:05
@sunwukong 他是对的,见阿贝尔定理。  发表于 2014-6-29 22:42
对的,我就是关于分项组合这一步比较担心有问题,所以没继续下去。  发表于 2014-6-29 22:42
x=1不在收敛域。但任何小于1的数都在收敛域,所以x=1的左极限存在  发表于 2014-6-29 20:54
x=1 不在级数的收敛域内吧?取极限还要另外的证明吧??  发表于 2014-6-29 20:39
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发表于 2014-6-29 19:45:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2014-6-29 19:48 编辑

http://tieba.baidu.com/p/2759742 ... mp;cid=#43016818017
O(∩_∩)O~
这个问题百度贴吧出现过类似的,但只有近似数值。
顺便讨论下呗!

点评

-_-  发表于 2014-6-29 23:04
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