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楼主: kastin

[求助] 特殊调和级数求和

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发表于 2014-6-29 20:58:51 | 显示全部楼层
\(\begin{split}\sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}&=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots\\&=(1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots)-\frac12(1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots)\\&=\frac{\pi}4-\frac{\ln2}2\end{split}\)

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从第二行(第三行)推出第一行是有效的,反过来需要证明第一行的收敛性。因为原级数不是绝对收敛,所以重排后未必收敛。  发表于 2014-6-30 15:15
无可挑剔!  发表于 2014-6-29 21:12
拆成两个已知的级数,赞~  发表于 2014-6-29 21:01

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-29 21:07:16 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2014-6-29 20:58
\(\begin{split}\sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}&=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1 ...


老大,我在9#的解答 貌似挺靠谱的。但总感觉还缺点什么,sunwukong的质疑挺有道理的。能帮我补补吗
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发表于 2014-6-29 21:41:24 | 显示全部楼层
9#的回答没有问题呀。\(f(x)'\)在个别点不收敛,不影响\(f(x)\)在该点的收敛性。被积函数在任何单个特定点的值都不影响积分的值。

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soga. i messed up. ^_^  发表于 2014-6-29 21:47
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发表于 2014-6-29 22:14:53 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2014-6-29 21:07
老大,我在9#的解答 貌似挺靠谱的。但总感觉还缺点什么,sunwukong的质疑挺有道理的。能帮我补补吗

我觉得,母函数的推导过程,尤其是不断求导的部分,确实很容易出现不严格的情况,有时候还真得比较难自圆其说。但是,母函数不是一个证明过程,而是一个思考过程。真的要严格论证,是要证明推导出来的母函数真的等于等号右边的级数,这一点用基本的数学分析不难做到。母函数法告诉我们的,是母函数的具体形式,让我们有东西可证。

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 楼主| 发表于 2014-6-30 10:03:41 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2014-6-29 17:26
按照模4,分开计算。

刚刚查了一下资料,关于无穷数项级数的性质:
1. 任意有限个收敛的无穷级数,那么它们任意的线性组合也必定是收敛的,且和为收敛值的线性组合。
2. 收敛级数加括号后形成的新级数也收敛,并且其和就是原级数的和。
(根据性质2的逆否命题,可得推论:若加括号后的级数发散,原级数必发散。)
3. 加括号后收敛的级数,原级数不一定收敛。

所以凡是采用分组的做法需要先证明1#的级数是收敛的,然后才能这么添加括号分组求和。

至于6#的证明,是有问题的,因为事先进行分组再进行收敛性判断,显然是主次颠倒了。
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发表于 2014-6-30 17:12:36 来自手机 | 显示全部楼层
这个可以用复变函数的冪级数来解释。冪级数在收敛边界上如果收敛,必然收敛到对应的解析函数上
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 楼主| 发表于 2014-6-30 19:22:50 | 显示全部楼层
根据帖子无穷级数的重排和添括号1楼中的定理2,可知
wayne在9#的解法是正确的。
$$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\oo}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{n}&=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots \tag{1}\\
&=(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots \tag{2}\\
&=\sum_{n=0}^{\oo}(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+2}-\frac{1}{4n+3}+\frac{1}{4n+4})\tag{3}\end{align*}$$然后根据幂级数和阿贝尔定理求出和。

具体来说,(2)式,或者说,(3)式与原无穷级数(1)式是等价,因为上面并未交换各项的位置前提下进行添括号,并且满足
1) 各括号内项数构成的数列{4,4,4,4,...}是常数数列,因此是有界的;
2) 原级数中的通项极限`\D \lim_{n\to \oo}\frac{1}{n}=0`.
所以根据定理2可知,(3)式与(1)同敛散性。

下面可证明(3)是收敛的,因为$$\sum_{n=0}^{\oo}(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+2}-\frac{1}{4n+3}+\frac{1}{4n+4})=\frac{5}{12}+\sum_{n=1}^{\oo}(\frac{8n+5}{4(32n^4+80n^3+70n^2+25n+3)}<\sum_{n=1}^{\oo}\frac{1}{n^3}$$
根据正项级数的比较审敛法可知,(3)收敛。

因此(1)也收敛,且收敛值与(3)相同,均为`\D \frac{\pi-2\ln 2}{4}`.

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额,这个一眼难以看出来吧~  发表于 2014-7-1 22:14
上限竟然是1/n^3,我第一眼看到这个题目 还以为是1/n^2  发表于 2014-6-30 23:02
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发表于 2019-5-19 21:27:20 | 显示全部楼层


百度贴吧的帖子也坏掉了

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}x^n&=x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}-\frac{x^7}{7}-\frac{x^8}{8}+\cdots\\
(-1\leqslant\,x\leqslant 1)\quad\quad\quad&=\arctan\left(x\right)+\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)\\
\\
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}x^n&=x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^8}{8}+\cdots\\
(-1\leqslant\,x\leqslant 1)\quad\quad\quad&=\arctan\left(x\right)-\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)\\
\\
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2n-1}x^{2n-1}&=x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}-\frac{x^{13}}{13}+\frac{x^{15}}{15}+\cdots\\
(-1\leqslant\,x\leqslant 1)\quad\quad\quad&=\frac{1}{\sqrt2}\operatorname{arctanh}\left(\frac{\sqrt{2}\,x}{1+x^2}\right)\\
\\
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2n-1}x^{2n-1}&=x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+\frac{x^{11}}{11}-\frac{x^{13}}{13}-\frac{x^{15}}{15}+\cdots\\
(-1\leqslant\,x\leqslant 1)\quad\quad\quad&=\frac{1}{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\sqrt{2}\,x}{1-x^2}\right)\\
\end{align*}
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