谁能揭示泰勒展开与不定方程这两列数之间的关系??????
1/(1-8x+17x^2)这个函数在0点的泰勒展开的系数Series
展开结果是
SeriesData[x, 0, {
1, 8, 47, 240, 1121, 4888, 20047, 77280, 277441, 905768, 2529647,
4839120, -4291039, -116593352, -859799153, -4896306240, \
-24553864319, -113193708472, -488133974353, -1980778750800, \
-7547952442399}, 0, 21, 1]
http://oeis.org/A106393
另一个是 Values of y such that x^2 + y^2 = 17^n with x and y coprime and 0 < x < y
http://oeis.org/A230623
一个是泰勒展开,一个是不定方程,
泰勒展开的系数为
1
8
47
240
1121
4888
20047
77280
277441
905768
2529647
4839120
-4291039
-116593352
-859799153
-4896306240
-24553864319
-113193708472
-488133974353
-1980778750800
-7547952442399
-26710380775592
-85367854683953
-228866364286560
-379677384665279
不定方程的解答是:
4
15
52
240
1121
4888
20047
77280
277441
1093425
5279468
23647519
99429196
393425745
1457109628
4968639359
24553864319
113193708472
488133974353
1980778750800
7547952442399
26710380775592
112605054449252
两者比较一下
看图片,不是红色的地方就表示两者相同的,考虑到-y也是不定方程的解答,所以两者有高度的重复
谁能对着两个系数高度一样给出一个解释,
如果可能的话,就表示可以通过泰勒展开求解不定方程.
再看前三个不同的部分的结果:
1^2+4^2=17^1
8^2+15^2=17^2
47^2+52^2=17^3
905768^2+1093425^2=17^10
分母为(1-(4+i)x)(1-(4-i)x) Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
xx={1, 8, 47, 240, 1121, 4888, 20047, 77280, 277441, 905768, 2529647, \
4839120, -4291039, -116593352, -859799153, -4896306240, -24553864319, \
-113193708472, -488133974353, -1980778750800, -7547952442399, \
-26710380775592, -85367854683953, -228866364286560, -379677384665279}
yy={4, 15, 52, 240, 1121, 4888, 20047, 77280, 277441, 1093425, 5279468, \
23647519, 99429196, 393425745, 1457109628, 4968639359, 24553864319, \
113193708472, 488133974353, 1980778750800, 7547952442399, \
26710380775592, 112605054449252}
nn=Min
Do];y=yy[];
If!=Abs,
If],
Print[{k,"绝对值相同"}]
],
{k,1,nn}
]
{1,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{2,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{3,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{4,绝对值相同}
{5,绝对值相同}
{6,绝对值相同}
{7,绝对值相同}
{8,绝对值相同}
{9,绝对值相同}
{10,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{11,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{12,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{13,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{14,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{15,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{16,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
{17,绝对值相同}
{18,绝对值相同}
{19,绝对值相同}
{20,绝对值相同}
{21,绝对值相同}
{22,绝对值相同}
{23,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
由运行结果可以看出,要么是绝对值相同,要么是平方和是17的k次幂.
我想泰勒展开与不定方程的解肯定有某种关系,不知道谁能一针见血地指出他们之间的关系 对不起了郭大哥,我只是为了让别人明白这两列数之间的关系才上传图片的,
不上传图片似乎解决不了问题 $1/{2i}({4+i}/{1-(4+i)x}-{4-i}/{1-(4-i)x})=Im{{4+i}/{1-(4+i)x}}$ 只要能证明满足a(n) = 8*a(n-1) -17*a(n-2), n>=2的a(n)是方程x^2+y^2=17^n, (x,y)=1, x<y 中的 x即可 因为`s^2+t^2=17`的正整数解只有`(1,4)`和`(4,1)`。不妨考虑`(1,4)`，令`a+b\text{i}=(1+4\text{i})^n`，两边同时取模，故有`a^2+b^2=17^n`。
所以，不定方程`x^2+y^2=17^n`满足`x<y`，且`(x,y)=1`的正整数通解为`x=\min\{|a|,|b|\}`，`y=\max\{|a|,|b|\}`
当然上面的`1+4\text{i}`换成`\pm4\pm1\text{i}`或者`\pm1-4\text{i}`结果都一样。
Labeled[Grid[
Prepend], Abs@{Re[#[]], Im[#[]]} // Sort} & /@
Table[{n, (1 + 4 I)^n}, {n, 1, 25}],
Style[#, Italic] & /@ {"n", "x", "y"}]~
Append~{"\", "\\",
"\\"},
Dividers -> {{True, True, {False}, True}, {True, True, {False},
True}}, Alignment -> {{Center, {Left}},
Automatic, {{{1, 1}, {2, 3}} -> Center}},
Background -> {None,
None, {{{2, 4}, {2, 2}} -> LightGray, {{5, 10}, {3, 3}} ->
LightGray, {{11, 17}, {2, 2}} ->
LightGray, {{18, 23}, {3, 3}} ->
LightGray, {{24, 26}, {2, 2}} ->
LightGray}}], "不定方程x^2+y^2=17^n的正整数解", Top]
CoprimeQ@@Abs@{Re[#[]],Im[#[]]}&/@Table[{n,(1+4I)^n},{n,1,25}](* 互质检验 *)
结果如下：
{True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True}
其中浅灰色部分就是1楼中给出的那个函数的泰勒展开系数相应的绝对值。 只有两种形式：
\[(x+y i )(x-y i) =x^2+y^2 = 17^n = ((1+4i)(1-4i))^n\]
\[(x+y i )(x-y i) =x^2+y^2 = 17^n = ((4+i)(4-i))^n\]
由\(0<x<y\),以及共轭形式的不变性，可以得到 \(x+y i = (4+i)^n\)
所以 \(y_n = Im\left(\dfrac{1}{1-(4+i)x}\right)\) 的级数展开的n次项目的系数的虚部,即：
\ 的n次项系数
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