谁能揭示泰勒展开与不定方程这两列数之间的关系??????

cn8888

1/(1-8x+17x^2)这个函数在0点的泰勒展开的系数
Series[1/(1 - 8*x + 17*x*x), {x, 0, 20}]
展开结果是
SeriesData[x, 0, {
1, 8, 47, 240, 1121, 4888, 20047, 77280, 277441, 905768, 2529647,
  4839120, -4291039, -116593352, -859799153, -4896306240, \
-24553864319, -113193708472, -488133974353, -1980778750800, \
-7547952442399}, 0, 21, 1]
http://oeis.org/A106393

另一个是 Values of y such that x^2 + y^2 = 17^n with x and y coprime and 0 < x < y
http://oeis.org/A230623

一个是泰勒展开,一个是不定方程,
泰勒展开的系数为

1. 1
   
2. 8
   
3. 47
   
4. 240
   
5. 1121
   
6. 4888
   
7. 20047
   
8. 77280
   
9. 277441
   
10. 905768
    
11. 2529647
    
12. 4839120
    
13. -4291039
    
14. -116593352
    
15. -859799153
    
16. -4896306240
    
17. -24553864319
    
18. -113193708472
    
19. -488133974353
    
20. -1980778750800
    
21. -7547952442399
    
22. -26710380775592
    
23. -85367854683953
    
24. -228866364286560
    
25. -379677384665279
    

复制代码

不定方程的解答是:

1. 4
   
2. 15
   
3. 52
   
4. 240
   
5. 1121
   
6. 4888
   
7. 20047
   
8. 77280
   
9. 277441
   
10. 1093425
    
11. 5279468
    
12. 23647519
    
13. 99429196
    
14. 393425745
    
15. 1457109628
    
16. 4968639359
    
17. 24553864319
    
18. 113193708472
    
19. 488133974353
    
20. 1980778750800
    
21. 7547952442399
    
22. 26710380775592
    
23. 112605054449252
    

复制代码

两者比较一下
看图片,不是红色的地方就表示两者相同的,考虑到-y也是不定方程的解答,所以两者有高度的重复

谁能对着两个系数高度一样给出一个解释,
如果可能的话,就表示可以通过泰勒展开求解不定方程.

cn8888

再看前三个不同的部分的结果:
1^2+4^2=17^1
8^2+15^2=17^2
47^2+52^2=17^3

cn8888

905768^2+1093425^2=17^10

mathe

分母为(1-(4+i)x)(1-(4-i)x)

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. xx={1, 8, 47, 240, 1121, 4888, 20047, 77280, 277441, 905768, 2529647, \
   
3. 4839120, -4291039, -116593352, -859799153, -4896306240, -24553864319, \
   
4. -113193708472, -488133974353, -1980778750800, -7547952442399, \
   
5. -26710380775592, -85367854683953, -228866364286560, -379677384665279}
   
6. yy={4, 15, 52, 240, 1121, 4888, 20047, 77280, 277441, 1093425, 5279468, \
   
7. 23647519, 99429196, 393425745, 1457109628, 4968639359, 24553864319, \
   
8. 113193708472, 488133974353, 1980778750800, 7547952442399, \
   
9. 26710380775592, 112605054449252}
   
10. nn=Min[Length@xx,Length@yy]
    
11. Do[x=xx[[k]];y=yy[[k]];
    
12.    If[Abs[x]!=Abs[y],
    
13.       If[x^2+y^2==17^k,Print[{k,"绝对值不同,平方和是17的k次幂"}]],
    
14.       Print[{k,"绝对值相同"}]
    
15.    ],
    
16.    {k,1,nn}
    
17. ]
    

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1. {1,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
   
2. {2,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
   
3. {3,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
   
4. {4,绝对值相同}
   
5. {5,绝对值相同}
   
6. {6,绝对值相同}
   
7. {7,绝对值相同}
   
8. {8,绝对值相同}
   
9. {9,绝对值相同}
   
10. {10,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
11. {11,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
12. {12,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
13. {13,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
14. {14,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
15. {15,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
16. {16,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    
17. {17,绝对值相同}
    
18. {18,绝对值相同}
    
19. {19,绝对值相同}
    
20. {20,绝对值相同}
    
21. {21,绝对值相同}
    
22. {22,绝对值相同}
    
23. {23,绝对值不同,平方和是17的k次幂}
    

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由运行结果可以看出,要么是绝对值相同,要么是平方和是17的k次幂.

我想泰勒展开与不定方程的解肯定有某种关系,不知道谁能一针见血地指出他们之间的关系

cn8888

对不起了郭大哥,我只是为了让别人明白这两列数之间的关系才上传图片的,
不上传图片似乎解决不了问题

mathe

$1/{2i}({4+i}/{1-(4+i)x}-{4-i}/{1-(4-i)x})=Im{{4+i}/{1-(4+i)x}}$

kastin

只要能证明满足a(n) = 8*a(n-1) -17*a(n-2), n>=2的a(n)是方程x^2+y^2=17^n, (x,y)=1, x<y 中的 x即可

kastin

因为`s^2+t^2=17`的正整数解只有`(1,4)`和`(4,1)`。不妨考虑`(1,4)`，令`a+b\text{i}=(1+4\text{i})^n`，两边同时取模，故有`a^2+b^2=17^n`。
所以，不定方程`x^2+y^2=17^n`满足`x<y`，且`(x,y)=1`的正整数通解为`x=\min\{|a|,|b|\}`，`y=\max\{|a|,|b|\}`

当然上面的`1+4\text{i}`换成`\pm4\pm1\text{i}`或者`\pm1-4\text{i}`结果都一样。

1. Labeled[Grid[
   
2.   Prepend[Flatten@{#[[1]], Abs@{Re[#[[2]]], Im[#[[2]]]} // Sort} & /@
   
3.      Table[{n, (1 + 4 I)^n}, {n, 1, 25}],
   
4.     Style[#, Italic] & /@ {"n", "x", "y"}]~
   
5.    Append~{"\[Ellipsis]", "\[Ellipsis]\[Ellipsis]",
   
6.     "\[Ellipsis]\[Ellipsis]"},
   
7.   Dividers -> {{True, True, {False}, True}, {True, True, {False},
   
8.      True}}, Alignment -> {{Center, {Left}},
   
9.     Automatic, {{{1, 1}, {2, 3}} -> Center}},
   
10.   Background -> {None,
    
11.     None, {{{2, 4}, {2, 2}} -> LightGray, {{5, 10}, {3, 3}} ->
    
12.       LightGray, {{11, 17}, {2, 2}} ->
    
13.       LightGray, {{18, 23}, {3, 3}} ->
    
14.       LightGray, {{24, 26}, {2, 2}} ->
    
15.       LightGray}}], "不定方程x^2+y^2=17^n的正整数解", Top]
    
16. 
    
17. CoprimeQ@@Abs@{Re[#[[2]]],Im[#[[2]]]}&/@Table[{n,(1+4I)^n},{n,1,25}](* 互质检验 *)

复制代码

结果如下：

x^2+y^2=17^n的通解

{True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True}

其中浅灰色部分就是1楼中给出的那个函数的泰勒展开系数相应的绝对值。

wayne

只有两种形式：
\[(x+y i )(x-y i) =x^2+y^2 = 17^n = ((1+4i)(1-4i))^n\]
\[(x+y i )(x-y i) =x^2+y^2 = 17^n = ((4+i)(4-i))^n\]
由\(0<x<y\),以及共轭形式的不变性，可以得到 \(x+y i = (4+i)^n\)

所以 \(y_n = Im\left(\dfrac{1}{1-(4+i)x}\right)\) 的级数展开的n次项目的系数的虚部,即：

\[y_n = Im\left(\frac{1}{1-(4+i)x}\right) = Im\left(\frac{(1 - 4 x+i x)}{1-8x+17x^2}\right)  = \frac{x}{1-8x+17x^2}\] 的n次项系数