谁能揭示泰勒展开与不定方程这两列数之间的关系??????

kastin

wayne 发表于 2014-7-2 20:05
只有两种形式：
\[(x+y i )(x-y i) =x^2+y^2 = 17^n = ((1+4i)(1-4i))^n\]
\[(x+y i )(x-y i) =x^2+y^2 = ...

在复数域上对`\D\frac{1}{1 - 8x + 17x^2}`进展部分分式展开，得

1. Apart[Factor[1/(1 - 8*x + 17*x*x), GaussianIntegers -> True]]

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结果便是mathe在7#给出的$1/{2i}({4+i}/{1-(4+i)x}-{4-i}/{1-(4-i)x})$
显然括号内左边一项和右边一项中的虚数单位仅仅相差一个负号，原有理分式是左边那一项的虚部。
即$$\frac{1}{1 - 8x + 17x^2}=\text{Im}{\frac{4+i}{1-(4+i)x}}=\text{Im}\sum_{n=1}^{\oo}(4+i)^nx^n$$
结合10#wayne给出的`(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2=17^n`的分析可知，`x+yi=(4+i)^n`
wayne有点小错误，因为`n`最小取`1`，所以，应该是 `\D\text{Im}\left(\frac{4+i}{1-(4+i)x}\right)`。正好与7#一致。
不过这个求虚部不太方便，可以直接利用上面的部分分式展开，直接得到泰勒系数的通项公式$$a_n=\frac{1}{2} i \left((4-i)^n-(4+i)^n\right)\quad(n\geqslant 1)$$

cn8888

kastin 发表于 2014-7-2 21:00
在复数域上对`\D\frac{1}{1 - 8x + 17x^2}`进展部分分式展开，得

结果便是mathe在7#给出的$1/{2i}({4+ ...

1. Table[I/2 ((4 - I)^n - (4 + I)^n), {n, 1, 27}]

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经过验证,确实是这个通项公式!

cn8888

kastin 发表于 2014-7-2 21:00
在复数域上对`\D\frac{1}{1 - 8x + 17x^2}`进展部分分式展开，得

结果便是mathe在7#给出的$1/{2i}({ ...

你在上面说了递推公式,
然后前两项可以算出来,
搞出递推公式是很容易的事情,
突然间.............

cn8888

kastin 发表于 2014-7-2 21:00
在复数域上对`\D\frac{1}{1 - 8x + 17x^2}`进展部分分式展开，得

结果便是mathe在7#给出的$1/{2i}({ ...

你能额外举例
一个泰勒展开
另一个是不定方程,
然后他们有类似的关系吗?

kastin

cn8888 发表于 2014-7-4 14:28
你能额外举例
一个泰勒展开
另一个是不定方程,

依样画葫芦，就拿二次不定方程为例吧，因为$$(a^2+b^2)^n=|a+bi|^{2n}=x^2+y^2$$其中，`x+yi=(a+bi)^n`，`a,b,x,y \in Z`。

对于不定方程$$x^2+y^2=(a^2+b^2)^n\tag{1}$$其互质正整数解即为`(a+bi)^n`中的实部和虚部的绝对值。

考虑`a_n`为函数`f(z)`泰勒展开式的系数，那么`f(z)=\sum_{n=1}^{\oo}a_nx^n`

如果仅仅考虑`x`或者`y`中某个值作为系数`a_n`，那么函数`f(z)=\sum_{n=0}^{\oo}(a+bi)^nz^n`的泰勒展开系数中，实部或者虚部的绝对值就是`x`或者`y`了。

根据等比级数公式$$\sum_{n=0}^{\oo}(a+bi)^nz^n=\frac{1}{1-(a+bi)z}$$而不定方程中的`n=1`对应的解是`a_0`，故需要乘以一个`(a+bi)`进行升幂，所以应该是`(a+bi)f(z)=\sum_{n=1}^{\oo}(a+bi)^nz^{n-1}`

考虑取其虚部，那么有$$\begin{align*}\text{Im}\sum_{n=1}^{\oo}(a+bi)^nz^{n-1}&=\frac{1}{2i}\left(\frac{a+bi}{1-(a+bi)z}-\frac{a-bi}{1-(a-bi)z}\right)\\
&=\frac{b}{(a^2+b^2)z^2 -2 a z+1}\end{align*}$$

故有理函数`\D \frac{b}{(a^2+b^2)x^2 -2 a x+1}`的泰勒展开式中的系数的绝对值必然是 不定方程`(1)`的解中的`x`或者`y`。

系数通项公式为 $$a_n=\frac{1}{2} i \left((a-i b)^n-(a+i b)^n\right)\quad (n\geqslant 1)$$
递推式为$$a_{n+1}=2a\,a_n-(a^2+b^2)a_{n-1}\quad(n\geqslant 2)$$其中`a_1=b`，`a_2=2ab`

至于对应其他次数的2元不定方程，是否存在泰勒系数就是不定方程中的解，这个是存在的，只要其通项公式满足不定方程的解即可，根据通项公式可以反求出母函数对应的形式。不过一般这样的母函数是只能写成级数形式，没有封闭形式。个人感觉对于一般的不定方程，或许存在一些初等函数的泰勒展开式中的一部分`a_n`是解，但是剩下的不是解。且满足这样条件的函数应该不止一个。

cn8888

3^2+2^2=13
Series[2/(1 - 6*x + 13*x^2), {x, 0, 20}]
得到
\[2 + 12x + 46{x^2} + 120{x^3} + 122{x^4} - 828{x^5} - 6554{x^6} - 28560{x^7} - 86158{x^8} - 145668{x^9}............. \]
x^3的系数是120
120^2+y^2=13^3(x^3的幂是3)
y^2<0
但是
120^2+y^2=13^4
y^2=119^2
你说这是为什么呢?

cn8888

哦 你是对的, x^n的系数,应该
\[{a_n}{x^n}的系数是{a_n},对应{a_n}^2 + {y^2} = {\left| {c + di} \right|^{2(n - 1)}}\]