同样，对方程\( a^2 + b^2 = c^2 + 1 \)
任何一组满足方程的解\( a_0, b_0, c_0 \)可以引出如下通项公式
\( d = b_0 + c_0 \)
\( a_k = 2dk \pm a_0 \)
\(b_k = 2dk^2 \pm 2a_0 k - b_0 \)
\(c_k = 2dk^2 \pm 2a_0 k + c_0 \)
kastin 发表于 2014-7-23 14:27
一楼给出的实质上就是著名的丢番图恒等式`(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)`
用复数证明相当 ...
原来如此，我早就解出了这个东西，一直希望希望化简无果。
由约束$1=ad-bc$，实际上可以导出很多二参数的特殊解，每个解都将导致一系列特解。这正是我之前特解的来源。
@无心人 肯定可以全覆盖的，因为每一步都是充要的（如我在顶楼所说的唯一分解定理），只是这个解不够显式而已。
(*不定方程x^2+y^2=z^2+1的正整数解(x,y,z)，已经排好奇偶顺序保证y始终为奇数*)
data = If]], {#[], #[], #[]}, #] & /@
Select[#, Last[#] \ Integers &] & /@
Table[{x, y, Sqrt}, {x, 1, 20}, {y, x, 120}] //
Flatten[##, 1] &
(*解出参数 a,b,c,d*)
{a, b, c, d} /.
Flatten], a d + b c == #[],
a c + b d == #[],
a d - b c == 1 && a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= 0}, {a, b,
c, d}, Integers]] & /@ data
(*验证10楼提到的公因数，第一列应该恰好是a，第二列应该恰好是b*)
{GCD[(#[] + #[])/2, (#[] + 1)/2],
GCD[(#[] - #[])/2, (#[] - 1)/2]} & /@ data
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+1),p>n\ge q\ge1)`
通解嘛，覆盖率自然是100%，就不知重复率有多大。wayne当年计算http://projecteuler.net/problem=223的公式可能就是这样吧。
hujunhua 发表于 2014-7-24 18:44
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+ ...
老大也太高估我了。其实我想说，时间太久了，我都忘了我当初是怎么计算的。只隐约记得是分解因式、然后在223对应的thread留了到此一游（projecteuler网站曾被黑过，论坛大改版，我的帐号也没了，之前每一个问题后面都有一个讨论区thread，现在也没了 ）
我猜我当初不大可能得出这么简洁的因子分解的表达。
hujunhua 发表于 2014-7-24 18:44
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+ ...
该方法不仅简洁，而且方便计数。直接统计因子个数即可、不用计算每一组解
\(x,z\)为偶数的解不重复，只有全奇数解存在\((x,y,z)\)与\((y,x,z)\)的重复问题。
对于全奇数解，限定\(x\le y\), 即
\(\D \frac{\sqrt{2}-1}{2}(2n+1)<q\le n\lt p<\frac{\sqrt{2}+1}{2}(2n+1)\)
应能消除重复解。
science123 发表于 2014-12-10 05:16
呵呵……好像都厉害，牛！
就是路有些歪。
就是路有些歪？这话说的。
套用楼主的话，楼主好像有更好的方法。
我们都愿闻其详，希望别让我失望。
本帖最后由 王守恩 于 2018-10-23 18:36 编辑
science123 发表于 2014-12-10 05:16
呵呵……好像都厉害，牛！
就是路有些歪。
关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解
\((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)
请教science123！还有更好的表达式吗？
王守恩 发表于 2018-10-23 10:21
关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解
\((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)
c=776,怎么破