关于方程a^2+b^2=c^2+1的通解探索

无心人

同样，对方程\( a^2 + b^2 = c^2 + 1 \)
任何一组满足方程的解\( a_0, b_0, c_0 \)可以引出如下通项公式

\( d = b_0 + c_0 \)
\( a_k = 2dk \pm a_0 \)
\(b_k = 2dk^2 \pm 2a_0 k - b_0 \)
\(c_k = 2dk^2 \pm 2a_0 k + c_0 \)

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kastin 发表于 2014-7-23 14:27
一楼给出的实质上就是著名的丢番图恒等式`(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)`
用复数证明相当 ...

原来如此，我早就解出了这个东西，一直希望希望化简无果。
由约束$1=ad-bc$，实际上可以导出很多二参数的特殊解，每个解都将导致一系列特解。这正是我之前特解的来源。

@无心人 肯定可以全覆盖的，因为每一步都是充要的（如我在顶楼所说的唯一分解定理），只是这个解不够显式而已。

kastin

1. (*不定方程x^2+y^2=z^2+1的正整数解(x,y,z)，已经排好奇偶顺序保证y始终为奇数*)
   
2. data = If[EvenQ[#[[2]]], {#[[2]], #[[1]], #[[3]]}, #] & /@
   
3.       Select[#, Last[#] \[Element] Integers &] & /@
   
4.     Table[{x, y, Sqrt[x^2 + y^2 - 1]}, {x, 1, 20}, {y, x, 120}] //
   
5.    Flatten[##, 1] &
   
6. 
   
7. (*解出参数 a,b,c,d*)
   
8. {a, b, c, d} /.
   
9.     Flatten[Solve[{a c - b d == #[[1]], a d + b c == #[[2]],
   
10.        a c + b d == #[[3]],
    
11.        a d - b c == 1 && a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= 0}, {a, b,
    
12.         c, d}, Integers]] & /@ data
    
13. 
    
14. (*验证10楼提到的公因数，第一列应该恰好是a，第二列应该恰好是b*)
    
15. {GCD[(#[[3]] + #[[1]])/2, (#[[2]] + 1)/2],
    
16.    GCD[(#[[3]] - #[[1]])/2, (#[[2]] - 1)/2]} & /@ data

复制代码

hujunhua

1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+1),p>n\ge q\ge1)`

通解嘛，覆盖率自然是100%，就不知重复率有多大。wayne当年计算http://projecteuler.net/problem=223的公式可能就是这样吧。

wayne

hujunhua 发表于 2014-7-24 18:44
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+ ...

老大也太高估我了。其实我想说，时间太久了，我都忘了我当初是怎么计算的。只隐约记得是分解因式、然后在223对应的thread留了到此一游（projecteuler网站曾被黑过，论坛大改版，我的帐号也没了，之前每一个问题后面都有一个讨论区thread，现在也没了 ）

我猜我当初不大可能得出这么简洁的因子分解的表达。

wayne

hujunhua 发表于 2014-7-24 18:44
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+ ...

该方法不仅简洁，而且方便计数。直接统计因子个数即可、不用计算每一组解

hujunhua

\(x,z\)为偶数的解不重复，只有全奇数解存在\((x,y,z)\)与\((y,x,z)\)的重复问题。
对于全奇数解，限定\(x\le y\), 即
\(\D \frac{\sqrt{2}-1}{2}(2n+1)<q\le n\lt p<\frac{\sqrt{2}+1}{2}(2n+1)\)
应能消除重复解。

wayne

science123 发表于 2014-12-10 05:16
呵呵……好像都厉害，牛！
就是路有些歪。

就是路有些歪？这话说的。
套用楼主的话，楼主好像有更好的方法。
我们都愿闻其详，希望别让我失望。

王守恩

science123 发表于 2014-12-10 05:16
呵呵……好像都厉害，牛！
就是路有些歪。

关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解

    \((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)

请教science123！还有更好的表达式吗？

kte

王守恩 发表于 2018-10-23 10:21
关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解

    \((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)

c=776,怎么破