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楼主: 282842712474

[原创] 关于方程a^2+b^2=c^2+1的通解探索

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发表于 2014-7-23 15:43:17 | 显示全部楼层
同样,对方程\( a^2 + b^2 = c^2 + 1 \)
任何一组满足方程的解\( a_0, b_0, c_0 \)可以引出如下通项公式

\( d = b_0 + c_0 \)
\( a_k = 2dk \pm a_0 \)
\(b_k = 2dk^2 \pm 2a_0 k - b_0 \)
\(c_k = 2dk^2 \pm 2a_0 k + c_0 \)

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这个是对的,不过是怎么推导出来的呢?  发表于 2014-7-23 19:34
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 楼主| 发表于 2014-7-23 18:03:51 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2014-7-23 14:27
一楼给出的实质上就是著名的丢番图恒等式`(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)`
用复数证明相当 ...

原来如此,我早就解出了这个东西,一直希望希望化简无果。
由约束$1=ad-bc$,实际上可以导出很多二参数的特殊解,每个解都将导致一系列特解。这正是我之前特解的来源。

@无心人 肯定可以全覆盖的,因为每一步都是充要的(如我在顶楼所说的唯一分解定理),只是这个解不够显式而已。
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发表于 2014-7-24 12:16:21 | 显示全部楼层
  1. (*不定方程x^2+y^2=z^2+1的正整数解(x,y,z),已经排好奇偶顺序保证y始终为奇数*)
  2. data = If[EvenQ[#[[2]]], {#[[2]], #[[1]], #[[3]]}, #] & /@
  3.       Select[#, Last[#] \[Element] Integers &] & /@
  4.     Table[{x, y, Sqrt[x^2 + y^2 - 1]}, {x, 1, 20}, {y, x, 120}] //
  5.    Flatten[##, 1] &

  6. (*解出参数 a,b,c,d*)
  7. {a, b, c, d} /.
  8.     Flatten[Solve[{a c - b d == #[[1]], a d + b c == #[[2]],
  9.        a c + b d == #[[3]],
  10.        a d - b c == 1 && a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= 0}, {a, b,
  11.         c, d}, Integers]] & /@ data

  12. (*验证10楼提到的公因数,第一列应该恰好是a,第二列应该恰好是b*)
  13. {GCD[(#[[3]] + #[[1]])/2, (#[[2]] + 1)/2],
  14.    GCD[(#[[3]] - #[[1]])/2, (#[[2]] - 1)/2]} & /@ data
复制代码

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@chyanog,你这个更好,避免多余的被计算。学习一下~  发表于 2014-7-28 18:51
data也可以这样生成,Table[With[{t=Sqrt[x^2+y^2-1]},If[IntegerQ@t,If[EvenQ@y,{y,x,t},{x,y,t}],Unevaluated[]]],{x,1,20},{y,x,120}]~Flatten~1  发表于 2014-7-28 14:05
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发表于 2014-7-24 18:44:18 | 显示全部楼层
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+1),p>n\ge q\ge1)`

通解嘛,覆盖率自然是100%,就不知重复率有多大。wayne当年计算http://projecteuler.net/problem=223的公式可能就是这样吧。

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大神难得一现!  发表于 2014-7-24 20:55
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发表于 2014-7-24 21:28:22 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2014-7-24 18:44
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+ ...


老大也太高估我了。其实我想说,时间太久了,我都忘了我当初是怎么计算的。只隐约记得是分解因式、然后在223对应的thread留了到此一游(projecteuler网站曾被黑过,论坛大改版,我的帐号也没了,之前每一个问题后面都有一个讨论区thread,现在也没了 )

我猜我当初不大可能得出这么简洁的因子分解的表达。
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发表于 2014-7-24 21:43:31 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2014-7-24 18:44
1#和10#的通解公式可以化简为
`\left\{\begin{split}x&=p-q\\y&=2n+1\\z&=p+q\end{split}\right.,(pq=n(n+ ...

该方法不仅简洁,而且方便计数。直接统计因子个数即可、不用计算每一组解

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重复率很多哦,怎么避免重复计算?  发表于 2014-7-25 11:02
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发表于 2014-7-28 11:15:30 | 显示全部楼层
\(x,z\)为偶数的解不重复,只有全奇数解存在\((x,y,z)\)与\((y,x,z)\)的重复问题。
对于全奇数解,限定\(x\le y\), 即
\(\D \frac{\sqrt{2}-1}{2}(2n+1)<q\le n\lt p<\frac{\sqrt{2}+1}{2}(2n+1)\)
应能消除重复解。

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嗯,我也推导了下,是一致的。  发表于 2014-7-31 08:50
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发表于 2014-12-10 05:16:34 | 显示全部楼层
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发表于 2014-12-10 08:24:24 | 显示全部楼层
science123 发表于 2014-12-10 05:16
呵呵……好像都厉害,牛!
就是路有些歪。

就是路有些歪?这话说的。
套用楼主的话,楼主好像有更好的方法。
我们都愿闻其详,希望别让我失望。
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发表于 2018-10-23 10:21:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-10-23 18:36 编辑
science123 发表于 2014-12-10 05:16
呵呵……好像都厉害,牛!
就是路有些歪。


关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解

    \((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)

请教science123!还有更好的表达式吗?
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