hujunhua 发表于 2014-8-6 18:16
@kastin 从还能找到的札记中找到一个反例，复射影平面上的。
三次曲线`x^3+y^3+z^3+6xyz=0`的 9个拐点：
...
楼主的题目因为没有作特别说明，因此我们并不需要认为这个定理一定要推广到复数点的情况，仅仅认为在实数平面证明即可。您的严谨非常令人钦佩。
比如椭圆曲线`y^2=x^3-3x+3`的图像在`x`轴上只有一个实交点，除非有特别说明的情况下，大家都会默认照欧几里得几何学的概念来说：它只有一个交点。因为复数交点虽然存在（3次方程在复数域内显然有3个根），但是不在实平面上。
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theorem
找到一点资料。这里有一个纯射影的证明，不依赖于距离概念。其中提到，Kelly怀疑Sylvester当初是研究三次射影曲线时碰到这个问题的，深表同意。还提到了九拐点反例。