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楼主: gxqcn

[推荐] 一道曾花了业界40年证明的几何题

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发表于 2014-8-7 23:36:29 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2014-8-6 18:16
@kastin 从还能找到的札记中找到一个反例,复射影平面上的。
三次曲线`x^3+y^3+z^3+6xyz=0`的 9个拐点:
...

楼主的题目因为没有作特别说明,因此我们并不需要认为这个定理一定要推广到复数点的情况,仅仅认为在实数平面证明即可。您的严谨非常令人钦佩。

比如椭圆曲线`y^2=x^3-3x+3`的图像在`x`轴上只有一个实交点,除非有特别说明的情况下,大家都会默认照欧几里得几何学的概念来说:它只有一个交点。因为复数交点虽然存在(3次方程在复数域内显然有3个根),但是不在实平面上。

点评

@mathe 原来是这个意思。不过我平常接触到数学归纳法用于平面几何证明,都没有涉及到复数平面内的使用,也没见过类似的例子,使用不当,还望见谅。请问如何证明才能排出复数的影响呢?  发表于 2014-8-8 20:16
也就是说,如果你的“证明”正确,对复二维平面也成立,但是那上面有反例,自然你的证明是错误的。wayne的方法同样  发表于 2014-8-8 17:48
无穷远点没有关系,通过射影变换可以将无穷远点变换为普通点。随机选择一个射影变换都几乎可以达到目的。他用这个例子的目的是说明你的“证明”是错误的,因为你的“证明”中并没有用到复二维和实二维平面的区别  发表于 2014-8-8 17:47
若更是要引进无穷远点来讨论的话,这就不再是平凡意义下的问题了。并且题目也未作特别说明(否则我们可以认为平行线在无穷远点有交点了)。  发表于 2014-8-7 23:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-8-8 16:28:00 | 显示全部楼层
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theorem

找到一点资料。这里有一个纯射影的证明,不依赖于距离概念。其中提到,Kelly怀疑Sylvester当初是研究三次射影曲线时碰到这个问题的,深表同意。还提到了九拐点反例。
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