一道曾花了业界40年证明的几何题

gxqcn

这是我在儿子从图书馆借的一本数学读物上看到的，书的对象是针对小学生，所以要介绍的题目及证明过程都不难，不信你可以试试。。。

已知：在平面上有不全共线的任意 \(n\) 个（\(n\geqslant3\)）点，
求证：必可过其中的某两点作直线，使之不经过其它的已知点。

注：此题1893年起流传于世（原题是个疑问句——“是否必有只通过其中两点的直线？”），历经40年才被解决。其证明却很初等，被评为“大众化的世界难题”。

wayne

这题目好像之前提及过

就是找一个平面图形作为反例，该平面图形里的任意两个点构成的直线总能经过其他一点

kastin

存在……这一类的命题，要么用构造法要么用反证法。
这个命题用反证法比较简单。


要证明 “平面上有不全共线的` n` （`n \geqslant 3`）个点，则存在两点，使得过该两点所作的直线不经过其它任何已知点”，只需否定“平面上有不全共线的` n` （`n \geqslant 3`）个点，则任意两点所作直线必定会经过其它某个已知点”。

假设后面的命题成立，由于两点确定一条直线，那么这`n`个点必定共线。这与已知矛盾，故不成立。因此原命题成立。

kastin

@gxqcn
命题S：对于 `n\geqslant 3`个平面点，过任意两点所作直线必定经过其它某个已知点，则这 `n` 个点共线。

容易验证，`n=3` 时，这样的三个点必然共线。假设 `n=k~(k \gt 3`，`k \in \ZZ)`时命题S成立，即这 `k` 个点 `(p_1,p_2,\ldots,p_k)` 全在直线 `l` 上，那么第 `k+1` 个点 `p_{k+1}` 与前`k`个点  `p_i(i=1,2,\ldots,k)`相连构成的直线 `l_i` 要想经过其它某个点`p_j(j=1,2,\ldots,k,~j \neq i)`，则`p_{k+1},p_i,p_j`三点共线，而`p_i,p_j`遍历的点都在直线`l`上，故 `p_{k+1}`也在 `l` 上。
于是根据数学归纳法可知，命题S成立。

因此可以根据反证法得知1楼命题成立。

gxqcn

这个好像不太适合用数学归纳法，或者说楼上的数学归纳法证明有瑕疵。

假设 `n=k~(k \gt 3`，`k \in \ZZ)`时命题S成立，即这 `k` 个点 `(p_1,p_2,\ldots,p_k)` 全在直线 `l` 上

因为接下来是要考察 \(n=k+1\) 的情形，
故其潜台词将是：“在前 \(k\) 个点中，过任意两点所作直线必定经过其它某个已知点（当然也包括新增点 \(p_{k+1}\)），则该 `k` 个点共线。”（姑且不论该命题正确与否）
而命题S 中的“其它点”，则仅仅局限于当前的点集。
所以两者并不等价，不能递推。

kastin

gxqcn 发表于 2014-8-5 17:03
这个好像不太适合用数学归纳法，或者说楼上的数学归纳法证明有瑕疵。

`n=k+1`的情形应该是：已知`k`个点共线，要证明`k+1`个点也是共线才能满足条件。而不是“在前 `k` 个点中，过任意两点所作直线必定经过其它某个已知点（当然也包括新增点 `p_{k+1}`），则该 `k` 个点共线。”

“在前 `k` 个点中，过任意两点所作直线必定经过其它某个已知点（当然也包括新增点 `p_{k+1}`）”这种情况就相当于要求 前`k`个点中，任意两点 `p_i,p_j(i,j=1,2,…,k,i\neq j)`相连构成的直线 `l`满足：a) 有可能经过`p_{k+1}`，此时`p_{k+1},p_i,p_j`三点共线；b) 不经过`p_{k+1}`(因为此时`l`已经经过了其他`k-2`个点)，由于又要要求新增的`p_{k+1}`与其他点的连线`l_i`必须经过前`k`个点中的某个点，于是只能是`p_{k+1}`在`l`上。
因此，无论是情况a还是b，必须满足新增点`p_{k+1}`在`l`上，即`k+1`个点共线。
这便由`k`个点共线证明了`k+1`个点也共线。数学归纳法可知对`n\geqslant 3`的一切整数均成立。

如果还是不太理解，可以实例化的情况去思考一下，比如从`n=3`到`n=4`的情况试试。

hujunhua

我以前研究三次射影曲线时碰到过这个问题，于是收集关于该问题的不少资料。可惜电脑频换，收集的资料都不知埋哪去了，现在只记得它叫做Sylvester直线问题。还有点名气。

本来在“三次射影曲线简介”一文中会提到它的，可惜我怎么没有心思写下去了。三次射影曲线有两个性质定理与之有关。

        其一:  整系数三次曲线的两个已知有理点的连线与三次曲线的交点也是一个有理点。
        推论：如果一条三次曲线 A 上有3个已知有理点不共线，由Sylvester直线定理立知 A 上有无穷多个有理点。

        其二： 三次曲线的两个已知拐点的连线与三次曲线的交点也是曲线的一个拐点。
         推论：由于一条三次曲线不可能有无穷多个拐点（最多9个拐点），所以一条三次曲线要么有1个实拐点，要么有3个实拐点（共线）。

Sylvester直线定理本质是属于射影几何的，它只在实射影平面上成立，在复射影平面上不成立。比如一个有9个拐点的三次曲线，其9个拐点任意两个拐点的连线都恰过其它7个拐点中的一个，这样的3点一线共有12条线。

Sylvester直线定理的最简明的证明用到了距离概念，超出了射影几何的范畴。我认为这是一个遗憾，有时候就想找一个纯射影的证明。

hujunhua

@kastin 您的归纳证明貌似没有区别复射影平面与实射影平面吧，可是复射影平面是有反例的。您怎么解释呢？

kastin

这个定理在双曲几何（罗巴切夫斯基几何）系统里面应该也成立。在椭圆几何（黎曼几何）里面应该是不成立的。 不知谁能证明。

l4m2

这题不是最小数原理？