一道曾花了业界40年证明的几何题

sheng_jianguo

这是一个比较有趣的问题，我曾经仔细分析过，发现网上流传的证明几乎相同，都是不严格的。下面是我给出的解答（供大家参考）：
　　这个问题和数学史上有名的西尔维斯特问题是等价的。
　　西尔维斯特(1814年～1897年)是英国著名数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题)：平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。
　　这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”，是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易，连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。
　　用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的一个。
　　不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的特性，有
h1AB/2+h2AC/2≥h(AB+AC)/2＞hBC/2。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。
说明：简单证明中只能得出h是最小中的一个，不能排除其它距离有可能和它相等，故不等式中第一个是≥，不是>。

hujunhua

@kastin 从还能找到的札记中找到一个反例，复射影平面上的。
三次曲线`x^3+y^3+z^3+6xyz=0`的 9个拐点：
`(1,-1,0),(1,-\omega,0),(1,-\omega^2,0),\\(1,0,-1),(1,0-\omega),(1,0,-\omega^2),\\(0,1,-1),(0,1,-\omega),(0,1,-\omega^2)`
(这里`\omega`是3次单位根)
本例含有3个无穷远点，下班了，我也没时间作一个变换，消除无穷无点，并写成你可能更能懂的二维坐标形式。有时间再作变换吧，你自己懂的话，也可以自己变换一下。
你可以验证一下，是不是任意两点的连线都通过其余7点中的一点。

你的归纳证明，仅用到了两点决定一条直线这一事实（公理），这在复射影平面上也是适用的，所以你的证明也适用于复射影平面。但是这个反例表明你的证明是不正确的，因为你证明了一个不成立的定理。

kastin

hujunhua 发表于 2014-8-6 18:16
@kastin 从我能找到的札记中找到一个反例，复射影平面上的。
三次曲线`x^3+y^3+z^3+6xyz=0`的 9个拐点：
...

能画出来吗？这种复数坐标我看不懂。问题是，1楼的问题仅仅是欧几里得空间的，无穷远点并不是真正意义上的点。

hujunhua

Oh, my god, help me please！

mathe

你这是用复杂的理论解释简单的问题：）消去无穷远点后估计他理解起来还是有困难的，毕竟图是作不出的

hujunhua

@kastin 咱们避谈射影几何，把你的那个归纳证明再捋一下。

平面点集 G 如果符合条件“ G 中任意 2 点，都存在G中的第3点与之共线”，就称G为一个纠缠集。引号中的那个条件就称为纠缠，用符号表述即
`\forall a,b\in G,\exists c\in G,c\ne a ,c\ne b, \text{colinear}\{a,b,c\}`
要解决的命题是：实纠缠集属于一条直线。

证：用数学归纳法。当`|G|=3`时，显然成立。假定`|G|=n\ge3`时命题成立。
当`|G|=n+1` 时，考虑`G`的任一个`n`元子集`G-\{a\}`,由于`G`是纠缠集，所以`G-\{a\}`也是纠缠集，由假设知`G-\{a\}`中`n`点共线, 记该直线为`l`。
因`G`是纠缠集，所以对于`a`及`G`中任一其它点`b`, 存在第3点`c\in G`,`\{a,b,c\}`共线。
显然，`b,c\in G-\{a\}`,所以`b,c\in l`, 由两点决定一条直线知`a\in l`. 即`G`中`n+1`点共线。（余略）

问题的关键就在于红字部分，纠缠集的子集一定是纠缠集吗？或者说，n+1元纠缠集一定有一个n元纠缠子集吗？

wayne

貌似可以正面出击.  用矩阵的秩来解释:
$\alpha_1$表示点$P_1$的坐标，则n个点的集合就是矩阵 {\(\alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_n\)}，
该点集合不全共线就是该矩阵的秩大于2，秩大于2就意味着矩阵存在2个元素线性无关。
换种说法就是存在两个点，经过他们的直线不经过其他所有点

hujunhua

@kastin 让我们来“证明”16#的红字部分。

命题：纠缠集的子集还是纠缠集。准确的表述：G是一个纠缠集，G'是G的一个真子集，并且|G‘|≥3, 求证 |G'|是纠缠集。

证明：
1、`\forall a,b\in G'`,由`G'\subset G\Rightarrow a,b\in G\Rightarrow\exists c\in G, c\ne a,c\ne b,\text{colinear}\{a,b,c\}`(由G的纠缠性得)
2、`c\in G, G'\subset G\Rightarrow c\in G'`（这一步正确吗，@kastin?）
3、由1和2得，`\forall a,b\in G',\exists c\in G', c\ne a,c\ne b,\text{colinear}\{a,b,c\}`,即`G'`是一个纠缠集。（证毕）

hujunhua

wayne 发表于 2014-8-7 12:46
貌似可以正面出击.  用矩阵的秩来解释:
$\alpha_1$表示点$P_1$的坐标，则n个点的集合就是矩阵 {\(\alpha_1 ...

这个应该行不通吧。在复射影平面上存在反例，可是你用的矩阵貌似不排斥复矩阵吧。

kastin

hujunhua 发表于 2014-8-6 18:16
@kastin 从还能找到的札记中找到一个反例，复射影平面上的。
三次曲线`x^3+y^3+z^3+6xyz=0`的 9个拐点：
...

楼主的题目因为没有作特别说明，因此我们并不需要认为这个定理一定要推广到复数点的情况，仅仅认为在实数平面证明即可。您的严谨非常令人钦佩。

比如椭圆曲线`y^2=x^3-3x+3`的图像在`x`轴上只有一个实交点，除非有特别说明的情况下，大家都会默认照欧几里得几何学的概念来说：它只有一个交点。因为复数交点虽然存在（3次方程在复数域内显然有3个根），但是不在实平面上。