从离散傅立叶变换推导连续傅立叶变换，求点评
离散傅里叶变换连续傅立叶变换
不知道推导对不对，硬是凑合着和维基上的公式对应上了，似乎最后一步有问题？
$N$点序列\({\left\{ {x} \right\}_{0 \le n < N}}\)的离散傅立叶变换(DFT)为：
$$\hat x = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}nk}}x}$$
其中，$0 \le n < N$，$0 \le k < N$，$\hat x$与$x$的周期都为$N$
现在将其连续化，设函数$f(t)$的周期为$T$，且其连续傅立叶变换$F(w)$存在
其中，$t \in ,w \in $
令\(N \to+\infty\)，将$t$所在区间划分成$N$个微元$dt = \frac{T}{N}$，则：
\begin{eqnarray*}
&&n = \frac{t}{{dt}} = \frac{{Nt}}{T} \Leftrightarrow t = \frac{{nT}}{N} \\
&&w = \frac{k}{N} \cdot 2\pi\Leftrightarrow k = \frac{{wN}}{{2\pi }} \\
&&x = f(t) = f(\frac{{nT}}{N}) \\
&&\hat x = F(w) = F(\frac{{2\pi k}}{N})
\end{eqnarray*}
得：
\begin{eqnarray*}
&&F(w) = \hat x = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}nk}}x} \quad (N \to+ \infty ) \\
&&= \sum\limits_{t = 0}^T {_{step\frac{T}{N}}{e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}\frac{{Nt}}{T}\frac{{wN}}{{2\pi }}}}f(t)} \\
&&= \sum\limits_{t = 0}^T {_{step\frac{T}{N}}{e^{ - i\frac{{wtN}}{T}}}f(t)} \\
&&= \frac{N}{T} \cdot \int_0^T {{e^{ - i\frac{{wtN}}{T}}}f(t)dt} \\
&&= \frac{N}{T} \cdot \int_{ - T/2}^{T/2} {{e^{ - i\frac{{wtN}}{T}}}f(t)dt}
\end{eqnarray*}
令\(T \to N \to +\infty\)，即得连续傅立叶变换：
$$F(w){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^{{\rm{ + }}\infty } {{e^{ - iwt}}f(t)dt}$$
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