从离散傅立叶变换推导连续傅立叶变换，求点评

dianyancao

离散傅里叶变换
连续傅立叶变换
不知道推导对不对，硬是凑合着和维基上的公式对应上了，似乎最后一步有问题？

$N$点序列\({\left\{ {x[n]} \right\}_{0 \le n < N}}\)的离散傅立叶变换(DFT)为：
$$\hat x[k] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}nk}}x[n]}$$
其中，$0 \le n < N$，$0 \le k < N$，$\hat x[k]$与$x[n]$的周期都为$N$

现在将其连续化，设函数$f(t)$的周期为$T$，且其连续傅立叶变换$F(w)$存在
其中，$t \in [0,T],w \in [0,2\pi ]$
令\(N \to  +\infty\)，将$t$所在区间划分成$N$个微元$dt = \frac{T}{N}$，则：
\begin{eqnarray*}
  &&n = \frac{t}{{dt}} = \frac{{Nt}}{T} \Leftrightarrow t = \frac{{nT}}{N} \\
  &&w = \frac{k}{N} \cdot 2\pi  \Leftrightarrow k = \frac{{wN}}{{2\pi }} \\
  &&x[n] = f(t) = f(\frac{{nT}}{N}) \\
  &&\hat x[k] = F(w) = F(\frac{{2\pi k}}{N})
\end{eqnarray*}
得：
\begin{eqnarray*}
  &&F(w) = \hat x[k] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}nk}}x[n]} \quad (N \to  + \infty ) \\
  &&= \sum\limits_{t = 0}^T {_{step  \frac{T}{N}}{e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}\frac{{Nt}}{T}\frac{{wN}}{{2\pi }}}}f(t)} \\
  &&= \sum\limits_{t = 0}^T {_{step  \frac{T}{N}}{e^{ - i\frac{{wtN}}{T}}}f(t)} \\
  &&= \frac{N}{T} \cdot \int_0^T {{e^{ - i\frac{{wtN}}{T}}}f(t)dt} \\
  &&= \frac{N}{T} \cdot \int_{ - T/2}^{T/2} {{e^{ - i\frac{{wtN}}{T}}}f(t)dt}
\end{eqnarray*}
令\(T \to N \to +\infty\)，即得连续傅立叶变换：
$$F(w){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^{{\rm{ + }}\infty } {{e^{ - iwt}}f(t)dt}$$