琴生不等式
今天我来介绍一个非常强大的不等式：琴生不等式。这个不等式甚至包含了一族我们非常常用的不等式，平均不等式。一个应用非常广泛的不等式定理
说起琴生不等式，首先要介绍凸函数的概念：
【定义】如果函数 \( f(x) \) 满足对定义域上任意两个数 \( x_1,x_2 \) 都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\ge f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \) ,那么 \( f(x) \) 为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数 \( f(x) \) 满足对定义域上任意两个数 \( x_1,x_2 \) 都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\le f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \) ,那么 \( f(x) \) 为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有 \( x_1=x_2 \) 时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数。
上面上凸下凸的名字我有可能记错了。
琴生不等式说，
对于任意的凹函数 \( f(x) \) 以及其定义域上 \( n \) 个数 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) ,那么都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \ge f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right) \)
对于任意的凸函数 \( f(x) \) 以及其定义域上 \( n \) 个数 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) ,那么都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \le f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right) \)
如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有 \( x_1=x_2=\dots=x_n \) 才成立
现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凹函数加以证明。
首先我们对 \( n \) 是 \( 2 \) 的幂加以证明，用数学归纳法
假设对于 \( n=2^k \) 琴生不等式成立，那么对于 \( n=2^{k+1} \)，
\[ \begin{split}
&\mathrel{\phantom{=}}\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \\
&= \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f\left( x_{(n/2)} \right)}{n/2}+\frac{f\left( x_{(n/2+1)} \right)+\dots+f(x_n)}{n/2} \\
&\ge f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_{(n/2)}}{n/2} \right)+f\left( \frac{x_{(n/2+1)}+\dots+x_n}{n/2} \right)\\
&\ge f\left( \frac{\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_{(n/2)}}{n/2} + \dfrac{x_{(n/2+1)}+\dots+x_n}{n/2}}{2} \right)\\
&= f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right)
\end{split} \]
所以对于所有 \( 2 \) 的幂，琴生不等式成立。
现在对于一个普通的 \( n \) ,如果 \( n \) 不是 \( 2 \) 的幂，我们可以找到一个 \( k \) ,使得 \( 2^k>n \)
然后我们设
\[ x_{n+1}=x_{n+2}=\dots=x_{2^k}=(x_1+x_2+\dots+x_n)/n \]
代入 \( 2^k \) 阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。
现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式：
\[ (x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)/n\ge[(x_1+x_2+\dots+x_n)/n]^2 \]
显然，我们可以查看函数 \( f(x)=x^2 \)
由于
\[ \begin{split}\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}&=(x_1^2+x_2^2)/2=(2x_1^2+2x_2^2)/4\\
&\ge\sfrac{\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+(x_1-x_2)^2\right)}{4}\\
&\ge\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\right)/4\\
&=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 \end{split}\]
所以 \( f(x)=x^2 \) 是凹函数
所以我们可以得到，对于任意 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) ,有 \[ \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \ge f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right) \] 也就是 \( n \) 阶平方平均不等式。
从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。
不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。
如果 \( f(x) \) 二阶可导，而且 \( f''(x)\ge0 \) ,那么 \( f(x) \) 是凹函数
如果 \( f(x) \) 二阶可导，而且 \( f''(x)\le0 \) ,那么 \( f(x) \) 是凸函数
至于这个证明，只要使用 \( f(x) \) 的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理）
有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，
现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式
比如
1)\( (x_1^t+x_2^t+\dots+x_n^t)/n\ge((x_1+x_2+\dots+x_n)/n)^t,\quad\text{(t > 1 时)} \)
2)\( (x_1^t+x_2^t+\dots+x_n^t)/n\le((x_1+x_2+\dots+x_n)/n)^t,\quad\text{(0 < t < 1 时)} \)
3)\( ((x_1+x_2+\dots+x_n)/n)^n \ge x_1x_2*\dots*x_n \)
其中前面两个取 \( f(x)=x^t \) 就可以了
后面一个取 \( f(x)=\ln(x) \) 就可以了。
又有译作“詹森(Jensen)不等式”
这确实是一个非常重要的不等式，许多重要定理可以由它轻易推导出，数学竞赛中也常提到它。它还有加权形式，及其它推广形式。
腻害呀，学习了 感觉证明琴生不等式的方法好麻烦:( 琴生是很容易几何直观的不等式。而且也容易记忆，它的文字版本：
我们考虑某类曲线，如果在某个区间上，函数图像上任意不同两点的连线位于函数图像之上的话，我们称其在这个区间上是凸的(convex, convace up). 凸函数的另外一种直观方式是区间上任意一点的切线都位于函数图像之下，或者说函数图像的切线斜率随自变量增加而增加。也就是说 在凸区间上， $f'(x)$ 是增函数， 等价于说 $f''(x)>0$. 后者是实际使用时判断函数在特定区间凹凸性时使用最多（如果不是总是）的方法。
凹函数可类似的定义。
有了上面凸（凹）函数的定义，琴生不等式可以这样便于理解，记忆和使用地以文字表述为：对凸（凹）函数，函数值的平均值（期望值）大（小）于等于平均值（期望值）的函数值。 或 $E\ge f(E)$ for $f$ convex, $E\le f(E)$ for $f$ concave.
主贴 mathe 用于证明琴生的方法正是柯西在证明算几(AM-GM)不等式时创造的一种数学归纳法的变格。 作为例子，我们看看用琴生来证明 $AM-GM$
定理（AM-GM): 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为正数，那么\[
\frac {x_1+x_2+\cdots+x_n}n\ge\sqrt{x_1x_2\cdots x_n},
\]
当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时，取等成立。
证明：注意到上式左右两边都是正数，在$f=\ln x$ 的定义域内，且已知 $\ln$ 在其定义域内是增函数，所以原不等式等价于两边取对数后得到的新不等式\[
\ln\left(\frac {x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)\ge \frac{ \ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n}n.
\]
注意到左边是平均值的函数值，右边是函数值的平均值。且 $f=\ln x$ 是凹函数。由琴生不等式，显然上面结论成立。故原命题得证。
又如
定理(Power Mean 简化版）：设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为正数，那么\[
\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}n}\ge \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\ge \left(\frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n}}n\right)^2.\]
当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=\x_n$ 时取等成立。
证明：注意到 $f(x)=x^2$ 是凸函数， 由琴生不等式，我们有
\[ E\ge f()\iff \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}n\ge\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)^2\iff\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}n}\ge \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\]
而 $g(x)$ 是凹函数，由琴生不等式，我们有
\\ge E\iff \sqrt{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n}\ge
\frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n}}n\iff\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\ge \left(\frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n}}n\right)^2.
\]
综上，命题为真，包括取等条件。
tintle 发表于 2026-1-25 19:46
感觉证明琴生不等式的方法好麻烦
琴生不等式可以还可以用一种特别直观，容易理解的所谓局部调整法来证明。以凸函数为例。凸函数 $f$ 还可以这样描述：对任意凸区间的 $x_1, x_2$, 有 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}2\ge f\left(\frac{x_1+x_2}2\right)$, 当且仅当$x_1=x_2$ 时取等成立。
我们要证明 如果 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 在 $f$ 的凸区间, 那么\[
\frac {f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}n \ge f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right).\]
当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时取等成立。
局部调整算法。
1. 如果 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ , 结束。
2. 存在$i,j\in \{1,2,\cdots,n\}$满足$x_i=x_j$. 现在把$(x_i+x_j)/2$ 赋给 $x_i, x_j$ . 这样的调整使得 $\frac {f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}n $ 变小，而$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n$ 从而$f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)$ 保持不变。
3. 重复以上过程至完成。
在无穷步后上面的算法在 $x_1=x_2=\cdots=x_n$时终止，如果我们称不等式左边的值，加上时序后为 $g_1, g_2,\cdots, g_{\infty}$, 那么我们有
\[ g_1>g_2>\cdots > g_{\infty} = f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)\].
这正是原不等式所要表述的。
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