琴生不等式

mathe

今天我来介绍一个非常强大的不等式：琴生不等式。
这个不等式甚至包含了一族我们非常常用的不等式，平均不等式。

说起琴生不等式，首先要介绍凸函数的概念：
【定义】如果函数 \( f(x) \) 满足对定义域上任意两个数 \( x_1,x_2 \) 都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\ge f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \) ,那么 \( f(x) \) 为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数 \( f(x) \) 满足对定义域上任意两个数 \( x_1,x_2 \) 都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\le f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \) ,那么 \( f(x) \) 为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有 \( x_1=x_2 \) 时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数。
上面上凸下凸的名字我有可能记错了。

琴生不等式说，
对于任意的凹函数 \( f(x) \) 以及其定义域上 \( n \) 个数 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) ,那么都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \ge f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right) \)
对于任意的凸函数 \( f(x) \) 以及其定义域上 \( n \) 个数 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) ,那么都有 \( \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \le f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right) \)
如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有 \( x_1=x_2=\dots=x_n \) 才成立

现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凹函数加以证明。
首先我们对 \( n \) 是 \( 2 \) 的幂加以证明，用数学归纳法
假设对于 \( n=2^k \) 琴生不等式成立，那么对于 \( n=2^{k+1} \)，
\[ \begin{split}
&\mathrel{\phantom{=}}\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \\[2ex]
&= \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f\left( x_{(n/2)} \right)}{n/2}+\frac{f\left( x_{(n/2+1)} \right)+\dots+f(x_n)}{n/2} \\
&\ge f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_{(n/2)}}{n/2} \right)+f\left( \frac{x_{(n/2+1)}+\dots+x_n}{n/2} \right)\\
&\ge f\left( \frac{\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_{(n/2)}}{n/2} + \dfrac{x_{(n/2+1)}+\dots+x_n}{n/2}}{2} \right)\\
&= f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right)
\end{split} \]
所以对于所有 \( 2 \) 的幂，琴生不等式成立。
现在对于一个普通的 \( n \) ,如果 \( n \) 不是 \( 2 \) 的幂，我们可以找到一个 \( k \) ,使得 \( 2^k>n \)
然后我们设
\[ x_{n+1}=x_{n+2}=\dots=x_{2^k}=(x_1+x_2+\dots+x_n)/n \]
代入 \( 2^k \) 阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式：
\[ (x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)/n\ge[(x_1+x_2+\dots+x_n)/n]^2 \]
显然，我们可以查看函数 \( f(x)=x^2 \)
由于
\[ \begin{split}\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}&=(x_1^2+x_2^2)/2=(2x_1^2+2x_2^2)/4\\
&\ge\sfrac{\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+(x_1-x_2)^2\right)}{4}\\
&\ge\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\right)/4\\
&=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 \end{split}\]
所以 \( f(x)=x^2 \) 是凹函数
所以我们可以得到，对于任意 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) ,有 \[ \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} \ge f\left( \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \right) \] 也就是 \( n \) 阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。
不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。
如果 \( f(x) \) 二阶可导，而且 \( f''(x)\ge0 \) ,那么 \( f(x) \) 是凹函数
如果 \( f(x) \) 二阶可导，而且 \( f''(x)\le0 \) ,那么 \( f(x) \) 是凸函数
至于这个证明，只要使用 \( f(x) \) 的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理）

有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，
现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式
比如
1)  \( (x_1^t+x_2^t+\dots+x_n^t)/n\ge((x_1+x_2+\dots+x_n)/n)^t,\quad\text{(t > 1 时)} \)
2)  \( (x_1^t+x_2^t+\dots+x_n^t)/n\le((x_1+x_2+\dots+x_n)/n)^t,\quad\text{(0 < t < 1 时)} \)
3)  \( ((x_1+x_2+\dots+x_n)/n)^n \ge x_1x_2*\dots*x_n \)
其中前面两个取 \( f(x)=x^t \) 就可以了
后面一个取 \( f(x)=\ln(x) \) 就可以了。

gxqcn

这确实是一个非常重要的不等式，许多重要定理可以由它轻易推导出，数学竞赛中也常提到它。
它还有加权形式，及其它推广形式。

加权Jensen不等式

liyqa

腻害呀，学习了