请教平方和定理和素理想分解
费马平方和定理可以利用高斯整数来证明。对于任意素数`p≡1\pmod{4}`，均存在整数$x$使得$p|x^2+1$，于是$$p|(x+i)(x-i)$$在高斯整数环内考虑，$p$不整除$(x\pm i)$，所以$p$只能是一个高斯合数，最终得到$p=a^2+b^2$。类似地，考虑分解$p=x^2+5y^2$，我们利用$\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$考虑。
我们有 $2|(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)$
和 $29|(13+\sqrt{5}i)(13-\sqrt{5}i)$，
但是在$\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$内唯一分解定理不成立，因此考虑理想分解。有$$=\left(+\right)\left(+\right)$$$以及$$=\left(+\right)\left(+\right)$$这表明$$和$$都不是素理想，但是$2$不能够表示为$x^2+5y^2$的形式，$29$却可以。怎么利用理想来证明它们的不同？
@mathe
@hujunhua
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