请教平方和定理和素理想分解

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费马平方和定理可以利用高斯整数来证明。对于任意素数`p≡1\pmod{4}`，均存在整数$x$使得$p|x^2+1$，于是$$p|(x+i)(x-i)$$在高斯整数环内考虑，$p$不整除$(x\pm i)$，所以$p$只能是一个高斯合数，最终得到$p=a^2+b^2$。

类似地，考虑分解$p=x^2+5y^2$，我们利用$\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$考虑。
我们有                      $2|(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)$
和                            $29|(13+\sqrt{5}i)(13-\sqrt{5}i)$，
但是在$\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$内唯一分解定理不成立，因此考虑理想分解。有$$[2]=\left([2]+[1+\sqrt{5}i]\right)\left([2]+[1-\sqrt{5}i]\right)$$$以及$$[29]=\left([29]+[13+\sqrt{5}i]\right)\left([29]+[13-\sqrt{5}i]\right)$$这表明$[2]$和$[29]$都不是素理想，但是$2$不能够表示为$x^2+5y^2$的形式，$29$却可以。怎么利用理想来证明它们的不同？

@mathe
@hujunhua