J(y) = \int_0^1 {(|y(x)| + |y'(x)| - |y(0)|)dx}
求如下泛函的最大值和最小值其中\(y'(x)\)连续\ 没有最大值和最小值。 考虑$y(x)=ax^2$，代入进去，显然$a$趋于正无穷时，积分也趋于正无穷，所以显然没有最大值。
最小值也没有，考虑$y(x)=-ax^2+a$即可，当$a$趋于正无穷时，积分趋于负无穷。 \[\int_0^1|y'(x)|dx\geq\max\{|y|\}-\min\{|y|\},\int_0^1|y(x)|dx\geq\min\{|y|\}\],所以结果\[\geq\max\{|y|\}-y(0)\geq0\] @mathe谢谢啊， 第一个式子好简洁呀:)
\[
\forall a,b\in \implies \int_0^1\abs{y'(x)}\dif x \geq\abs{\int_a^by'(x)\dif x} =\abs{y(b)-y(a)}\geq\abs{y(b)}-\abs{y(a)}
\]
取最大的\(\abs{y(b)}\)为\(\max\{\abs{y}\}\),取最小的\(\abs{y(a)}\)为\(\min\{\abs{y}\}\)
那么有：
\[
\int_0^1|y'(x)|dx\geq\max\{|y|\}-\min\{|y|\}
\]
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