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[提问] J(y) = \int_0^1 {(|y(x)| + |y'(x)| - |y(0)|)dx}

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发表于 2014-11-19 00:39:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求如下泛函的最大值和最小值
其中\(y'(x)\)连续\[J(y) = \int_0^1 {\left(\abs{y(x)}+ \abs{y'(x)}- \abs{y(0)}\right)\dif x} \]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-11-19 12:37:27 | 显示全部楼层
没有最大值和最小值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-11-19 12:40:31 | 显示全部楼层
考虑$y(x)=ax^2$,代入进去,显然$a$趋于正无穷时,积分也趋于正无穷,所以显然没有最大值。
最小值也没有,考虑$y(x)=-ax^2+a$即可,当$a$趋于正无穷时,积分趋于负无穷。

点评

确实如此,我忽略了|y'|的作用。@mathe  发表于 2014-11-19 13:03
最小值为0,在y=0时可以取到。你这个最小值的反例不成立 |y|=a(1-x^2),|y'|=2ax, |y|+|y'|-y(0)=a(2x-x^2)=a(1-(1-x)^2)>=0  发表于 2014-11-19 12:48

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发表于 2014-11-19 13:10:34 | 显示全部楼层
\[\int_0^1|y'(x)|dx\geq\max\{|y|\}-\min\{|y|\},\int_0^1|y(x)|dx\geq\min\{|y|\}\],所以结果\[\geq\max\{|y|\}-y(0)\geq0\]

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 楼主| 发表于 2014-11-19 22:37:13 | 显示全部楼层
@mathe谢谢啊, 第一个式子好简洁呀
\[
\forall a,b\in[0,1] \implies \int_0^1\abs{y'(x)}\dif x \geq\abs{\int_a^by'(x)\dif x} =\abs{y(b)-y(a)}\geq\abs{y(b)}-\abs{y(a)}
\]
取最大的\(\abs{y(b)}\)为\(\max\{\abs{y}\}\),取最小的\(\abs{y(a)}\)为\(\min\{\abs{y}\}\)
那么有:
\[
\int_0^1|y'(x)|dx\geq\max\{|y|\}-\min\{|y|\}
\]
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