交错发散级数存在收敛的证明
（一）从定义上看，交错发散级数属于不定发散级数。（二）但在运算中，有些交错发散级数是收敛的。
（三）以f(k)=∑(n=1…∞)(-1)n-1nk(0≤k＜1)为例：
（1）Γ(1-k)=∫(0,1)(-lnt)-kdt，令t=xn得
（2）Γ(1-k)nk=∫(0,1)(-lnx)-k(nxn-1)dx，
（3）Γ(1-k)[(-1)n-1nk]=∫(0,1)(-lnx)-kn-1]dx，
（4）Γ(1-k)f(k)=∫(0,1)[(-lnx)-k/(1+x)2]dx，
由此得出f(k)是收敛的。
（四）同理可证：当k≥1时，f(k)也是收敛的。
（五）产生此种矛盾，是不是出现了第四次数学危机呢？
（六）当然，交错发散级数∑(n=1…∞)(-2)n-1还是发散的。
（七）看来“级数收敛”还得重新定义。应建立“常义收敛”和“广义收敛”两个概念。
参见http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/1265240622014102531921764/
补充内容 (2015-7-21 22:13):
http://shufubisheng.blog.163.com/blog/static/24832509320154921150130/ 你这样定义，大部分数列都可以收敛
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