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[讨论] 交错发散级数存在收敛的证明

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发表于 2014-12-18 11:33:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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(一)从定义上看,交错发散级数属于不定发散级数。

(二)但在运算中,有些交错发散级数是收敛的。

(三)以f(k)=∑(n=1…∞)(-1)n-1nk(0≤k<1)为例:
(1)Γ(1-k)=∫(0,1)(-lnt)-kdt,令t=xn
(2)Γ(1-k)nk=∫(0,1)(-lnx)-k(nxn-1)dx,
(3)Γ(1-k)[(-1)n-1nk]=∫(0,1)(-lnx)-k[n(-x)n-1]dx,
(4)Γ(1-k)f(k)=∫(0,1)[(-lnx)-k/(1+x)2]dx,
由此得出f(k)是收敛的。

(四)同理可证:当k≥1时,f(k)也是收敛的。

(五)产生此种矛盾,是不是出现了第四次数学危机呢?

(六)当然,交错发散级数∑(n=1…∞)(-2)n-1还是发散的。

(七)看来“级数收敛”还得重新定义。应建立“常义收敛”和“广义收敛”两个概念。


参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622014102531921764/

补充内容 (2015-7-21 22:13):
http://shufubisheng.blog.163.com ... 509320154921150130/
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-12-18 17:39:43 | 显示全部楼层
你这样定义,大部分数列都可以收敛

点评

问题在运算中,有些交错发散级数是收敛的。  发表于 2014-12-23 12:47
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