交错发散级数存在收敛的证明

zuijianqiugen

（一）从定义上看，交错发散级数属于不定发散级数。

（二）但在运算中，有些交错发散级数是收敛的。

（三）以f(k)=∑(n=1…∞)(-1)^n-1n^k(0≤k＜1)为例：
（1）Γ(1-k)=∫(0,1)(-lnt)^-kdt，令t=xⁿ得
（2）Γ(1-k)n^k=∫(0,1)(-lnx)^-k(nx^n-1)dx，
（3）Γ(1-k)[(-1)^n-1n^k]=∫(0,1)(-lnx)^-k[n(-x)^n-1]dx，
（4）Γ(1-k)f(k)=∫(0,1)[(-lnx)^-k/(1+x)²]dx，
由此得出f(k)是收敛的。

（四）同理可证：当k≥1时，f(k)也是收敛的。

（五）产生此种矛盾，是不是出现了第四次数学危机呢？

（六）当然，交错发散级数∑(n=1…∞)(-2)^n-1还是发散的。

（七）看来“级数收敛”还得重新定义。应建立“常义收敛”和“广义收敛”两个概念。

参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622014102531921764/

补充内容 (2015-7-21 22:13):
http://shufubisheng.blog.163.com ... 509320154921150130/

mathe

你这样定义，大部分数列都可以收敛