上一页最后讲到，我们用$(\alpha\alpha...\alpha)(x)-2$（$k+1$个$\alpha$）来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **})(x)$（$k$个$\alpha$）才小于$4$，于是：
我们用$(\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha)(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\beta)\omega_i(x)$才小于$4$；
注意，现在定义的这个函数，$\beta$和$\alpha$是分开的。
我们用$(\beta\cdot\alpha^{(2)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\beta\cdot\alpha)\omega_i(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha^{(3)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\beta\cdot\alpha^{(2)})\omega_i(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha^{(4)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\beta\cdot\alpha^{(3)})\omega_i(x)$才小于$4$；
……
我们用$(\beta\cdot\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta\cdot\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta\cdot\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta\cdot\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha^{** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta\cdot\alpha^{** ** **(k)})(x)$才小于$4$；
……
我们用$(\beta\cdot\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\cdot\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\cdot\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\cdot\alpha\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\cdot\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\cdot\alpha\alpha\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
……
我们用$(\beta\cdot\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta\cdot\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$，$(\beta\cdot\beta)(x)$就是$(\beta^{(2)})(x)$；
我们用$(\beta^{(2)}\cdot\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta^{(2)}\cdot\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$，$(\beta^{(2)}\cdot\beta)(x)$就是$(\beta^{(3)})(x)$；
我们用$(\beta^{(3)}\cdot\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta^{(3)}\cdot\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$，$(\beta^{(3)}\cdot\beta)(x)$就是$(\beta^{(4)})(x)$；
我们用$(\beta^{(4)}\cdot\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta^{(4)}\cdot\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$，$(\beta^{(4)}\cdot\beta)(x)$就是$(\beta^{(5)})(x)$；
……
我们用$(\beta^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta^{(k)})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta^{**(k)})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta^{** **(k)})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta^{** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\beta^{** ** **(k)})(x)$才小于$4$；
……
我们用$(\beta\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
注意，现在定义的这个函数，$\beta$和$\alpha$是并在一起的，和之前定义过的$(\beta\cdot\alpha)(x)$（$\beta$和$\alpha$是分开的）是不一样的函数。
我们用$(\beta\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\alpha\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\beta\alpha\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；
……
我们用$(\beta\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$；
注意，现在定义的这个函数，两个$\beta$是并在一起的，和之前定义过的$(\beta\cdot\beta)$（两个$\beta$是分开的）是不一样的函数。
我们用$(\beta\beta\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta\beta\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\beta\beta\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta\beta\beta\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$；
我们用$(\beta\beta\beta\beta\beta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\beta\beta\beta\beta\alpha\alpha...\alpha)(x)$才小于$4$；
……
我们用$(\gamma)(x)-1$来表示至少需要多少个$\beta$，$(\beta\beta...\beta)(x)$才小于$4$；
我们用$(\gamma\cdot\alpha)(x)-1$来表示………………
（此处省略$1000$字）
我们用$(\delta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\gamma$，$(\gamma\gamma...\gamma)(x)$才小于$4$；
我们用$(\delta\cdot\alpha)(x)-1$来表示………………
（此处省略$2000$字）
我们用$(\epsilon)(x)-1$来表示至少需要多少个$\delta$，$(\delta\delta...\delta)(x)$才小于$4$；
我们用$(\epsilon\cdot\alpha)(x)-1$来表示………………
（此处省略$3000$字）
我们用$(\zeta)(x)-1$来表示至少需要多少个$\epsilon$，$(\epsilon\epsilon...\epsilon)(x)$才小于$4$；
……
当我们用了很多个特殊记号$\omega_i$，$(\omega_i)(x)$也没能直观地指示$x$的大小的时候，
我们用$((\alpha))(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\omega_i)(x)$才小于$4$。
注意，现在定义的这个函数，$\alpha$外面有$2$层括号，它比之前定义过的$(\alpha)$（$\alpha$外面只有$1$层括号）又高了一个级别。
于是我们终于能直观地指示$g(65536)$~$g(65539)$的大小了（$g(65536)$就是$g(2^{2^{2^2}})$）：
$((\alpha))(g(65536))=5$、$((\alpha))(g(65537))=6$、$((\alpha))(g(65538))=8$、$((\alpha))(g(65539))=10$、……
（此贴到此暂时告一段落，等坛友们把以上内容消化完，我再介绍如何直观地指示更大的数的大小，例如：$g(2^65536)$）
我们用$(((\alpha)))(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊符号$\omega_i$，$((\omega_i))(x)$才小于$4$。
至于从$((\alpha))$到$(((\alpha)))$，中间经过了多少个步骤的积累，这里就不敷述了，感兴趣的读者可以慢慢体会。
于是我们就可以直观地指示$g(2^{65536})$的大小了：$(((\alpha)))(g(2^{65536}))=5$。
我们用$((((\alpha))))(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊符号$\omega_i$，$(((\omega_i)))(x)$才小于$4$。
至于从$(((\alpha)))$到$((((\alpha))))$，中间经过了多少个步骤的积累，这里就不敷述了，感兴趣的读者可以慢慢体会。
于是我们就可以直观地指示$g(2^{2^{65536}})$的大小了：$((((\alpha))))(g(2^{2^{65536}}))=5$。
我们用$(((((\alpha)))))(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊符号$\omega_i$，$((((\omega_i))))(x)$才小于$4$。
至于从$((((\alpha))))$到$(((((\alpha)))))$，中间经过了多少个步骤的积累，这里就不敷述了，感兴趣的读者可以慢慢体会。
于是我们就可以直观地指示$g(2^{2^{2^{65536}}})$的大小了：$(((((\alpha)))))(g(2^{2^{2^{65536}}}))=5$。
……
至此，我们通过定义一系列函数，终于把迄今为止人(楼)类(主)已知的增长速度最快的【古德斯坦函数】的增长速度完全量化了。
【古德斯坦函数】的神秘面纱已经揭开，她的增长速度与【多层括号包住的$\alpha$函数】的反函数的增长速度相当，
她的参数每多一层指数塔，我们就只要用【多一层括号包住的$\alpha$函数】的反函数来描述她的大小即可。
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至于从$((\alpha))$到$(((\alpha)))$，中间经过了多少个步骤的积累，这个很有意思，还是写一下：
$((\alpha))$、$((\alpha))^{(2)}$、$((\alpha))^{(3)}$、$((\alpha))^{(4)}$、……
$((\alpha))^{**}$、$((\alpha))^{** **}$、$((\alpha))^{** ** **}$、$((\alpha))^{** ** ** **}$、……
$((\alpha))\alpha$、$((\alpha))\alpha\alpha$、$((\alpha))\alpha\alpha\alpha$、$((\alpha))\alpha\alpha\alpha\alpha$、……
$((\alpha))\beta$、$((\alpha))\gamma$、$((\alpha))\delta$、$((\alpha))\epsilon$、……
$((\alpha)\cdot\alpha)$、$((\alpha)\cdot\alpha^{(2)})$、$((\alpha)\cdot\alpha^{(3)})$、$((\alpha)\cdot\alpha^{(4)})$、……
$((\alpha)\cdot\alpha^{**})$、$((\alpha)\cdot\alpha^{** **})$、$((\alpha)\cdot\alpha^{** ** **})$、$((\alpha)\cdot\alpha^{** ** ** **})$、……
$((\alpha)\cdot\alpha\alpha)$、$((\alpha)\cdot\alpha\alpha\alpha)$、$((\alpha)\cdot\alpha\alpha\alpha\alpha)$、$((\alpha)\cdot\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha)$、……
$((\alpha)\cdot\beta)$、$((\alpha)\cdot\gamma)$、$((\alpha)\cdot\delta)$、$((\alpha)\cdot\epsilon)$、……
$((\alpha)^{(2)})$、$((\alpha)^{(3)})$、$((\alpha)^{(4)})$、$((\alpha)^{(5)})$、……
$((\alpha)^{**})$、$((\alpha)^{** **})$、$((\alpha)^{** ** **})$、$((\alpha)^{** ** ** **})$、……
$((\alpha)\alpha)$、$((\alpha)\alpha\alpha)$、$((\alpha)\alpha\alpha\alpha)$、$((\alpha)\alpha\alpha\alpha\alpha)$、……
$((\alpha)\beta)$、$((\alpha)\gamma)$、$((\alpha)\delta)$、$((\alpha)\epsilon)$、……
$((\alpha^{(2)}))$、$((\alpha^{(3)}))$、$((\alpha^{(4)}))$、$((\alpha^{(5)}))$、……
$((\alpha^{**}))$、$((\alpha^{** **}))$、$((\alpha^{** ** **}))$、$((\alpha^{** ** ** **}))$、……
$((\alpha\alpha))$、$((\alpha\alpha\alpha))$、$((\alpha\alpha\alpha\alpha))$、$((\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha))$、……
$((\beta))$、$((\gamma))$、$((\delta))$、$((\epsilon))$、……
$(((\alpha)))$
此主题的连载到此告一段落。
等楼主发现了增长速度更快的函数时，会继续更新此主题，请大家静候佳音~ 竟然还有【内嵌递归和对角化】这种神操作！长见识了。
先把参考文献贴上来，再慢慢研究：
https://www.zhihu.com/question/25041176/answer/120277432
注：【Graham数】就是葛立恒数。 楼上的参考文献通过递归定义了一系列函数：
$f_0(x)$、$f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、……
如果用楼主的那一套符号来描述它们的大小，结果是（为了简洁，从本贴起，省略$+1$、$-1$、$+2$、$-2$、……这些小常数）：
$f_0(x)=x$、$f_1(x)/2=x$、$\log(f_2(x))=x$、$\log^{**}(f_3(x))=x$、$\log^{** **}(f_4(x))=x$、$\log^{** ** **}(f_5(x))=x$、……、$\log^{** ** ** ... **}(f_n(x))=x$（$n$个$**$）
虽然这些函数都在楼主定义的那一套符号的掌控范围内，但是……
竟然还有【对角化】这种神操作，真是让楼主大开眼界！
楼主定义的那一套符号与【对角化】进行较量，结果如何呢？
#####
较量结果如下：
$\alpha(f_\omega(x))=x$、$\beta(f_{\omega^2}(x))=x$、$\gamma(f_{\omega^3}(x))=x$、$\delta(f_{\omega^4}(x))=x$、$\epsilon(f_{\omega^5}(x))=x$、……
$(\alpha)(f_{\omega^\omega}(x))=x$、$((\alpha))(f_{\omega^{\omega^\omega}}(x))=x$、$(((\alpha)))(f_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(x))=x$、$((((\alpha))))(f_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}(x))=x$、......
也就是说，楼主定义的【多层括号包住的$\alpha$函数】充其量只是与$f_{\omega^{\omega^{\ ...^\omega}}}(x)$势均力敌而已。
而楼上甩出的终极武器是$f_{f_{f_{f_{\ ..._{\ f_{\ \omega_{\ x}}(\omega_{x-1}\ )}\ ...\ }(\omega_{\ 3})}(\omega_{\ 2})}(\omega)}(x)$，其增长速度远远快于$f_{\omega^{\omega^{\ ...^\omega}}}(x)$，
因此楼主苦心经营了多年的【多层括号包住的$\alpha$函数】被楼上完败了:'(
鉴于此，$12$楼声称的【人类已知】并不成立，改成【楼主所知】了。 为了继续与【对角化】进行较量，我们定义一个新的函数$[\alpha](x)$，表示至少需要多少层小括号，$(((...(\alpha)...)))(x)$才小于某个常数。
于是我们有以下结果：
$[\alpha](f_\omega(c))=1$、$[\alpha](f_{\omega^\omega}(c))=2$、$[\alpha](f_{\omega^{\omega^\omega}}(c))=3$、$[\alpha](f_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(c))=4$、$[\alpha](f_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}(c))=5$、......
也就是：
$[\alpha](f_{f_3^{(1)}(\omega)}(c))=1$、$[\alpha](f_{f_3^{(2)}(\omega)}(c))=2$、$[\alpha](f_{f_3^{(3)}(\omega)}(c))=3$、$[\alpha](f_{f_3^{(4)}(\omega)}(c))=4$、$[\alpha](f_{f_3^{(5)}(\omega)}(c))=5$、......
其中$c$是某个小常数。
复用之前定义的所有符号，得到一系列函数：
$[\alpha]^{(2)}$、$[\alpha]^{(3)}$、$[\alpha]^{(4)}$、……
$[\alpha]^{**}$、$[\alpha]^{** **}$、$[\alpha]^{** ** **}$、……
$[\alpha]\alpha$、$[\alpha]\alpha\alpha$、$[\alpha]\alpha\alpha\alpha$、……
$[\alpha]\beta$、$[\alpha]\gamma$、$[\alpha]\delta$、$[\alpha]\epsilon$、……
$[\alpha](\alpha)$、$[\alpha](\alpha^{(2)})$、$[\alpha](\alpha^{(3)})$、……
$[\alpha](\alpha^{**})$、$[\alpha](\alpha^{** **})$、$[\alpha](\alpha^{** ** **})$、……
$[\alpha](\alpha\alpha)$、$[\alpha](\alpha\alpha\alpha)$、$[\alpha](\alpha\alpha\alpha\alpha)$、……
$[\alpha](\beta)$、$[\alpha](\gamma)$、$[\alpha](\delta)$、$[\alpha](\epsilon)$……
$[\alpha]((\alpha))$、$[\alpha](((\alpha)))$、$[\alpha]((((\alpha))))$、……
$[\alpha^{(2)}]$、$[\alpha^{(3)}]$、$[\alpha^{(4)}]$、……
$[\alpha^{**}]$、$[\alpha^{** **}]$、$[\alpha^{** ** **}]$、……
$[\alpha\alpha]$、$[\alpha\alpha\alpha]$、$[\alpha\alpha\alpha\alpha]$、……
$[\beta]$、$[\gamma]$、$[\delta]$、$[\epsilon]$、……
$[(\alpha)]$、$[(\alpha^{(2)})]$、$[(\alpha^{(3)})]$、……
$[(\alpha^{**})]$、$[(\alpha^{** **})]$、$[(\alpha^{** ** **})]$、……
$[(\alpha\alpha)]$、$[(\alpha\alpha\alpha)]$、$[(\alpha\alpha\alpha\alpha)]$、……
$[(\beta)]$、$[(\gamma)]$、$[(\delta)]$、$[(\epsilon)]$……
$[((\alpha))]$、$[(((\alpha)))]$、$[((((\alpha))))]$、……
$[[\alpha]]$、$[[[\alpha]]]$、$[[[[\alpha]]]]$、……
那么最后一系列函数$[[[...[\alpha]...]]]$有多强呢？
#####
该函数充其量也就这么强而已：
$[\alpha](f_{f_4^{(1)}(\omega)}(x))=x$、$[[\alpha]](f_{f_4^{(2)}(\omega)}(x))=x$、$[[[\alpha]]](f_{f_4^{(3)}(\omega)}(x))=x$、$[[[[\alpha]]]](f_{f_4^{(4)}(\omega)}(x))=x$、$[[[[[\alpha]]]]](f_{f_4^{(5)}(\omega)}(x))=x$、......
为了继续与【对角化】进行较量，我们定义一个新的函数$\{\alpha\}(x)$，表示至少需要多少层中括号，$[[[...[\alpha]...]]](x)$才小于某个常数。
然后复用之前定义的所有符号，得到一系列函数：
（略）
那么最后一系列函数$\{\{\{...\{\alpha\}...\}\}\}$有多强呢？
#####
该函数充其量也就这么强而已：
$\{\alpha\}(f_{f_5^{(1)}(\omega)}(x))=x$、$\{\{\alpha\}\}(f_{f_5^{(2)}(\omega)}(x))=x$、$\{\{\{\alpha\}\}\}(f_{f_5^{(3)}(\omega)}(x))=x$、$\{\{\{\{\alpha\}\}\}\}(f_{f_5^{(4)}(\omega)}(x))=x$、$\{\{\{\{\{\alpha\}\}\}\}\}(f_{f_5^{(5)}(\omega)}(x))=x$、......
那接下来的
$f_{f_6(\omega)}(x)$、$f_{f_7(\omega)}(x)$、$f_{f_8(\omega)}(x)$、$f_{f_9(\omega)}(x)$、$f_{f_{10}(\omega)}(x)$、……
该怎么搞呢？ 为了继续与【对角化】进行较量，我们定义括号的级别：
$1$级括号$(\ )$，$2$级括号$[\ ]$，$3$级括号$\{\ \}$，……
于是$c$级括号包住的$\alpha$的函数就可以直观地指示$f_{f_c(\omega)}(x)$的大小了（$c$是某个小常数），如下图所示：
可是如果定义了很多级括号都没法直观地指示某数的大小，该怎么办呢？
楼主暂时编不下去了，等有空的时候再继续编:M: 经过长长的思考，大概有点感觉了~
继续往下编的大致思路如下：
我们需要一个新的$\alpha$，表示至少需要多少级括号【】，用这个级别的括号【】把旧的$\alpha$包住，【$\alpha$】$(x)$才小于某个常数。
为了与旧的$\alpha$区分开，新的$\alpha$暂且叫$\alpha_2$好了。
于是我们就得到了这样的结果：$\alpha_2(f_{f_x(\omega)}(x))=x$
接下来就可以把内层的$f_x$对角化了，对角化之后变成$f_{\omega_2}$（为了避免与外层的$\omega$混淆，内层的对角化符号用$\omega_2$来表示）。
于是我们就得到了这样的结果：$\alpha_2(f_{f_{\omega_2}(\omega)}(x))=x$
然后我们就可以发现以下规律：
$\alpha(f_omega(x))=x$，$\alpha_2(f_{f_{\omega_2}(\omega)}(x))=x$
也就是说：
从$\alpha$到$\alpha_2$的过程，实际上就是内嵌一层对角化的过程。
然后我们复用以上定义过的所有符号，演化出一系列的函数，然后一直往前推进到$\alpha_3$，
就可以得到这样的结果：$\alpha_3(f_{f_{f_{\omega_3}(\omega_2)}(\omega)}(x))=x$
依次类推。
而$13$楼的参考文献甩出的终极武器是$f_{**}(x)=f_{f_{f_{f_{\ ..._{\ f_{\ \omega_{\ x}}(\omega_{x-1}\ )}\ ...\ }(\omega_{\ 3})}(\omega_{\ 2})}(\omega)}(x)$，
我数了一下，发现这个函数一共内嵌了$x$层对角化，
所以这个函数的增长速度是这么快：$\alpha_{**}(f_{**}(x))=x$。
其中，$\alpha_{**}(x)$表示$k$至少是几，$\alpha_k(x)$才小于某个常数。
大概就是这样~
等我有空了，就把具体的演化过程仔细检查一遍，看看这样描述是否正确。
可是，这样就完了吗？
感觉还没玩多久呢，就把楼主能找到的所有大数给玩完了，好失望啊~:(
要是能找到更大的数继续玩下去就好了~ 去维基百科查【大数】词条，
下拉到页面最底端，可以看到各种级别的【大数】，从小到大列举如下：
Thousand, Ten thousand, Hundred thousand, Million, Ten million, Hundred million, Billion, Trillion, Quadrillion, Quintillion, Sextillion, Septillion, Googol: 这些“天文数字”都弱爆了，$1$次$\log$运算就可以将它们干掉;P
Skewes's number, Googolplex: 依然弱爆，将它们干掉只需要$2$次$\log$运算。
Googolduplex: 依然很弱，将它干掉只需要若干次$\log$运算，或者$1$次$\log^{**}$运算。
Moser's number: 有点意思，将它干掉需要$1$次$\alpha$运算。
Graham's number: 是前面反复提到的【葛立恒数】，将它干掉需要$66$次$\alpha$运算，或者$1$次$\alpha^{**}$运算。
TREE(x): 虽然我不知道这是什么鬼，但是$13$楼的参考文献声称$f_{**}(x)$比它强，用楼上刚刚定义出来的$\alpha_{**}$运算可以将它干掉。
SSCG(x): 似乎很大，用$\alpha_{**}$运算也干不掉，有空慢慢研究~
最后面这两个“大数”都是在耍流氓：
Rayo's number: 在某理论体系下用$10^100$个字能定义出来的最大的数。虽然我不知道这是什么鬼，但是如果我把我的那一套符号继续编下去，直到写满$10^100$张贴子，也许就可以干掉它了。
Transfinite numbers: 比任何有限大的数都大，但又不是无限大的大数。虽然我不知道这是什么鬼，但是我知道即使我写满【Rayo's number】张贴子，也干不掉它。
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