$(1-{x^2}/{(1-x)^2})/x=v/u*(1-{z^2}/{(1-z)^2})/z=v/w*(1-{y^2}/{(1-y)^2})/y$
可以化简为
${1-2x}/{x(1-x)^2}=v/u*{1-2z}/{z(1-z)^2}=v/w*{1-2y}/{y(1-y)^2}$
然后我们作出函数$f(x)={1-2x}/{x(1-x)^2}$的图如下:
可以看出这个在$0<x<1$时是严格单调减函数 现在可以看出，在$x+y+z=1$的约束下，如果对于给定的$v/u,v/w$,如果方程
$f(x)=v/uf(z)=v/wf(y)$有两个不同的解$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$，其中$x_1,y_1,z_1$都不超过$1/2$,那么$v/u>0,v/w>0$,所以$x_2,y_2,z_2$也都不能超过$1/2$,这时由$f(x)$的单调性,我们知道如果$x_2>x_1$,那么必然有$y_2>y_1,z_2>z_1$;
同样如果$x_2<x_1$,那么必然有$y_2<y_1,z_2<z_1$;都同$x_1+y_1+z_1=x_1+y_2+z_2=1$矛盾。 而如果两组解中某一组有一个数超过$1/2$(最多只能一个)，那么另外一组必然也是对应的数超过$1/2$
不妨设$z_1>1/2,z_2>1/2$,我们再不妨设$x_1>x_2$,那么同前面部分推理，必然$y_1>y_2$,$z_1<z_2$
而且$x_1-x_2+y_1-y_2=z_2-z_1$
现在我们只要能够证明
${f(z_2)}/{f(z_1)}>{f(z_1+x_1-x_2)}/{f(z_1)}>{f(x_1)}/{f(x_2)}$就能够得出矛盾 为此，我们可以作出${f'(x)}/{f(x)}$的图如下:
可以看出在$1>x>1/2$时${f'(x)}/{f(x)}>=10$,而在$0<x<1/2$时，${f'(x)}/{f(x)}<=-5$
而${f'(x)}/{f(x)}$是$log(|f(x)|)$的导数，利用这个信息就可以证明上面的结论了。
不过好像还要在具体分析一下这个函数的性质才行 第一步结构变换
ab(1-cc/(a+b)(a+b))=xy(1-zz/(x+y)(x+y))
其他同理.
第二步证明
已知a,b,c,x,y,z为正数
那么ab>0,xy>0,a+b>0,x+y>0
如果 1-cc/(a+b)(a+b)>0那么
1-zz/(x+y)(x+y)>0
zz/(x+y)(x+y)<1
x+y>z>0
如果 1-cc/(a+b)(a+b)<=0那么
1-zz/(x+y)(x+y)<=0
0<zz/(x+y)(x+y)<=1
x+y>=z>0
综上得:x+y>=z>0
同理得:x+z>=y>0,y+z>=x>0
第三步:
不知道上面的结论你们是否看出来了
得到的是一个几何命题.
三角形任意两边的和大于第三边.
当然不要忽略了一点就是
对于第一组方程如果满足c=a+b
那么Z=0
不知道你是否可以看懂.意思是说你那要证明的命题有问题的. 上面的函数不知道怎么表达在网页上.现在重新发.
第一步结构变换
$ab(1-c^2/(a+b)^2)=xy(1-z^2/(x+y)^2)$
其他同理.
第二步证明
已知a,b,c,x,y,z为正数
那么ab>0,xy>0,a+b>0,x+y>0
如果 1-c^2/(a+b)^2>0那么
$1-z^2/(x+y)^2>0$
$0<z^2/(x+y)^2<1$且$x+y>0$
$x+y>z>0$
如果 $1-c^2/(a+b)^2<=0$那么
$1-z^2/(x+y)^2<=0$
$0<z^2/(x+y)^2<=1$
$x+y>=z>0$
综上得:$x+y>=z>0$
同理得:$x+z>=y>0$,$y+z>=x>0$
第三步:
不知道上面的结论你们是否看出来了
得到的是一个几何命题.
三角形任意两边的和大于第三边.
当然不要忽略了一点就是
对于第一组方程如果满足$c=a+b$
那么$Z=0$
不知道你是否可以看懂.意思是说你那要证明的命题有问题的. 这一步推理错了
$1-z^2/(x+y)^2<=0$
$0<z^2/(x+y)^2<=1$
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