方程唯一解问题

mathe

呵呵，上面函数推导错了一步，应该是方程转化为 $(1-{x^2}/{(1-x)^2})/x=v/u*(1-{z^2}/{(1-z)^2})/z=v/w*(1-{y^2}/{(1-y)^2})/y$ 可以化简为 ${1-2x}/{x(1-x)^2}=v/u*{1-2z}/{z(1-z)^2}=v/w*{1-2y}/{y(1-y)^2}$ 然后我们作出函数$f(x)={1-2x}/{x(1-x)^2}$的图如下: 可以看出这个在$0

mathe

现在可以看出，在$x+y+z=1$的约束下，如果对于给定的$v/u,v/w$,如果方程 $f(x)=v/uf(z)=v/wf(y)$有两个不同的解$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$，其中$x_1,y_1,z_1$都不超过$1/2$,那么$v/u>0,v/w>0$,所以$x_2,y_2,z_2$也都不能超过$1/2$,这时由$f(x)$的单调性,我们知道如果$x_2>x_1$,那么必然有$y_2>y_1,z_2>z_1$; 同样如果$x_2

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而如果两组解中某一组有一个数超过$1/2$(最多只能一个)，那么另外一组必然也是对应的数超过$1/2$ 不妨设$z_1>1/2,z_2>1/2$,我们再不妨设$x_1>x_2$,那么同前面部分推理，必然$y_1>y_2$,$z_1{f(z_1+x_1-x_2)}/{f(z_1)}>{f(x_1)}/{f(x_2)}$就能够得出矛盾

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为此，我们可以作出${f'(x)}/{f(x)}$的图如下: 可以看出在$1>x>1/2$时${f'(x)}/{f(x)}>=10$,而在$0

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第一步结构变换 ab(1-cc/(a+b)(a+b))=xy(1-zz/(x+y)(x+y)) 其他同理. 第二步证明 已知a,b,c,x,y,z为正数 那么ab>0,xy>0,a+b>0,x+y>0 如果 1-cc/(a+b)(a+b)>0那么 1-zz/(x+y)(x+y)>0 zz/(x+y)(x+y)<1 x+y>z>0 如果 1-cc/(a+b)(a+b)<=0那么 1-zz/(x+y)(x+y)<=0 0=z>0 综上得:x+y>=z>0 同理得:x+z>=y>0,y+z>=x>0 第三步: 不知道上面的结论你们是否看出来了 得到的是一个几何命题. 三角形任意两边的和大于第三边. 当然不要忽略了一点就是 对于第一组方程如果满足c=a+b 那么Z=0 不知道你是否可以看懂.意思是说你那要证明的命题有问题的.

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上面的函数不知道怎么表达在网页上.现在重新发. 第一步结构变换 $ab(1-c^2/(a+b)^2)=xy(1-z^2/(x+y)^2)$ 其他同理. 第二步证明 已知a,b,c,x,y,z为正数 那么ab>0,xy>0,a+b>0,x+y>0 如果 1-c^2/(a+b)^2>0那么 $1-z^2/(x+y)^2>0$ $00$ $x+y>z>0$ 如果 $1-c^2/(a+b)^2<=0$那么 $1-z^2/(x+y)^2<=0$ $0=z>0$ 综上得:$x+y>=z>0$ 同理得:$x+z>=y>0$,$y+z>=x>0$ 第三步: 不知道上面的结论你们是否看出来了 得到的是一个几何命题. 三角形任意两边的和大于第三边. 当然不要忽略了一点就是 对于第一组方程如果满足$c=a+b$ 那么$Z=0$ 不知道你是否可以看懂.意思是说你那要证明的命题有问题的.

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这一步推理错了 $1-z^2/(x+y)^2<=0$ $0