方程唯一解问题

mathe

智星论坛中一道题目:http://bbs.kinotown.com/thread-179197-1-1.html
已知正数a,b,c,x,y,z满足:
${(ab-{abc^2}/{(a+b)^2}=xy-{xyz^2}/{(x+y)^2}),(bc-{a^2bc}/{(b+c)^2} =yz-{x^2yz}/{(y+z)^2}),(ca-{ab^2c}/{(c+a)^2}=zx-{xy^2z}/{(z+x)^2}) :}$
求证$x=a,y=b,z=c$

我试过用maxima用a=3,b=4,c=5代入，可以得到很多组解，但是的确只有一组是全正数的。

无心人

全对称方程啊

似乎应该有对称的结果

gxqcn

注意到，对于 $\forall a,b,c in RR^+$，
均存在以 $(a+b, b+c, c+a)$ 为边长的三角形，
看是否可据此转化为几何问题？

无心人

考虑替换？
apb = a + b
amb = ab
...
...
xpy = x + y
xmy = xy
...
,,,
然后处理下？

mathe

题目也就是证明对于方程
${(xy(1-{z^2}/{(x+y)^2})=u),(yz(1-{x^2}/{(y+z)^2})=v),(zx(1-{y^2}/{(x+z)^2})=w) :}$
如果存在正数解，那么解是唯一的。
考虑到我们同时对x,y,z乘上常数k以后，方程形式没有什么变化，就是右边所有常系数乘上$k^2$
我们可以总是对x,y,z进行归一化使得$x+y+z=1$,而这时方程可以转化为
$x(1-{x^2}/{(1-x)^2})=v/u*z(1-{z^2}/{(1-z)^2})=v/w*y(1-{y^2}/{(1-y)^2})$并且$x+y+z=1,x>0,y>0,z>0$
上面方程可以化简为
${x(1-2x)}/{(1-x)^2}=v/u*{z(1-2z)}/{(1-z)^2}=v/w*{y(1-2y)}/{(1-y)^2}$并且$x+y+z=1,x>0,y>0,z>0$

下面添加函数$f(x)={x(1-2x)}/{(1-x)^2}$的图像

无心人

什么软件做的图？

mathe

原帖由 无心人 于 2008-7-22 17:09 发表
什么软件做的图？

几何画板

无心人

能找个免费软件作图么？
似乎maxima就可以画
不过需要什么GNU plot

mathe

不知道为什么，画上面的图几乎要死机。

无心人

你说maxima?
恐怕是水土不服

你有多余的机器么？
或者干脆弄一4000的Dell本本
带linux
还是linux适合研究
呵呵